◦  먼저 수험생이 선택한 응시 유형의 문제지인지 확인하시오.

수 리 영 역

‘A’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

수 리 영 역

‘A’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

2013년 3월 고3 모의고사 문제지

제 2 교시        수 리 영 역

성명			수험번호						3

‘A’형

◦  문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.

◦  답안지에 수험 번호, 응시 유형 및 답을 표기할 때는 반드시 ‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.

◦  단답형 답의 숫자에 0 이 포함된 경우, 0 을 OMR 답안지에 반드시 표기해야 합니다.

◦  문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦  계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

16

ROUND 01 01~10 15분 이내 풀기

정답률 93%

①

[출제의도] 로그의 성질을 알고, 로그의 값을 계산한다.

[eqn: 6`log _{3} sqrt {3}][eqn: =6`log _{`3} `3 ^{{1} over {2}}]

[eqn: =6 TIMES {1} over {2} `log _{`3} `3`]

[eqn: =6 TIMES {1} over {2} `]

[eqn: =3`]

[eqn: 6`log_{`3} sqrt3]의 값은?

[2점][2013년 3월]

① [eqn: 3]	② [eqn: 7over2]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: 9over2]	⑤ [eqn: 5]

정답률 94%

④

[출제의도] 행렬의 곱셈과 뺄셈의 뜻을 알고, 이를 계산한다.

[eqn: AB-A &]를 계산하면 다음과 같다.

[eqn: AB-A &]

[eqn: = {pmatrix{3&``1#1&``1}} {pmatrix{1&``1#1&``1}} - {pmatrix{3&``1#1&``1}}] [eqn: = {pmatrix{4&``4#2&``2}} - {pmatrix{3&``1#1&``1}}] [eqn: = {pmatrix{1&``3#1&``1}} ``]

따라서 행렬 [eqn: AB-A &]의 모든 성분의 합은 [eqn: 6`]이다.

[다른 풀이]

행렬에 대한 분배법칙을 이용하여 계산하면 다음과 같다.

[eqn: AB-A]

[eqn: =A(B-E)]

[eqn: = {pmatrix{3&``1#1&``1}} LEFT { {pmatrix{1&``1#1&``1}} - {pmatrix{1&``0#0&``1}} RIGHT }][eqn: = {pmatrix{3&``1#1&``1}} {pmatrix{0&``1#1&``0}}][eqn: = {pmatrix{1&``3#1&``1}}]

따라서 행렬 [eqn: AB-A &]의 모든 성분의 합은 [eqn: 6`]이다.

두 행렬 [eqn: A= pmatrix{`3`& `1` # `1` & `1`}`], [eqn: B= pmatrix{`1`&`1`#`1`&`1`}`]에 대하여 행렬 [eqn: AB``-A`]의 모든 성분의 합은?

[2점][2013년 3월]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

18

정답률 93%

⑤

[출제의도] 수렴하는 수열의 극한에 관한 성질을 알고, 이를 계산한다.

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{5n ^{2} +3n} over {(2n+1)(2n-1)}}]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {{5n ^{2} +3n} over {4n ^{2} -1}}] [eqn: = lim _{n` -> ` INF } {{5+ {3} over {n} } over {4- {1} over {n ^{2}}}}]

[eqn: = {5} over {4} `] (∵[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{3} over {n }} = lim _{n` -> ` INF } {{1} over {n ^{2}} =0`}])

[eqn: lim _{n-> inf}{5n^{`2}+3n}over{(2n+1)(2n-1)} `]의 값은?

[2점][2013년 3월]

① [eqn: 1over4]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: 3over4]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 5over4]

정답률 94%

③

[출제의도] 등비수열의 일반항을 이해하고, 항의 값을 구한다.

주어진 수열의 첫째항을 [eqn: a`]라 하면

[eqn: a _{3} =a`․`2 ^{2} =4a`]

[eqn: a _{4} =a`․`2 ^{3} =8a`]

이므로 주어진 조건에서

[eqn: 36=a _{3} +a _{4} =4a+8a=12a`]

∴ [eqn: a=3`]

∴ [eqn: a _{6} `=3 TIMES 2 ^{5} =96`]

공비가 [eqn: 2`]인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여 [eqn: a _{3} +a _{4} =36`]일 때, [eqn: a _{6} `]의 값은?

[3점][2013년 3월]

① [eqn: 48]	② [eqn: 64]	③ [eqn: 96]	④ [eqn: 108]	⑤ [eqn: 128]

정답률 91%

③[출제의도] 지수의 성질을 이해하고, 지수방정식의 해를 구한다.

[eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x-1} = root {3} of {4}]

이때 [eqn: root {3} of {4} =4 ^{{1} over {3}} =2 ^{{2} over {3}} `]이므로 주어진 방정식을 고쳐 쓰면 다음과 같다.

[eqn: 2 ^{-(x-1)} =2 ^{{2} over {3}} `]

지수함수는 일대일함수이므로

[eqn: -(x-1)= {2} over {3} `]

∴ [eqn: x= {1} over {3} `]

지수방정식 [eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x-1} = root3 of 4 `]의 해는?

[3점][2013년 3월]

① [eqn: - {2} over {3}]	② [eqn: - {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {3}]	④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: 4over3]

정답률 76%

②

[출제의도] 무한등비급수를 이해하고, 무한급수의 합을 구한다.

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1+(-1) ^{n}} over {3 ^{n}} `]

[eqn: = sum _{n=1} ^{INF } left{ LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n} + LEFT ( - {1} over {3} RIGHT ) ^{n} `right}`]

[eqn: = sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n} +sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( - {1} over {3} RIGHT ) ^{n} `]

[eqn: = {{1} over {3}} over {1- {1} over {3}} + {- {1} over {3}} over {1- LEFT ( - {1} over {3} RIGHT )}]

[eqn: = {1} over {2} - {1} over {4}]

[eqn: = {1} over {4} `]

[다른 풀이]

주어진 무한급수의 합을 [eqn: S``]라 하고, 이를 덧셈으로 연결하여 나타내면

[eqn: S= sum _{n=1} ^{INF } {1+(-1) ^{n}} over {3 ^{n}} `]

[eqn: =0+ {2} over {3 ^{2}} +0+ {2} over {3 ^{4}} +0+ {2} over {3 ^{6}} +0+`cdots`]

[eqn: = {2} over {3 ^{2}} + {2} over {3 ^{4}} + {2} over {3 ^{6}} + {2} over {3 ^{8}} +` CDOTS `]

이므로 이 무한급수는 첫째항이 [eqn: {2} over {9} `]이고 공비가 [eqn: {1} over {9} `]인 무한등비급수의 합과 같다.

∴ [eqn: S= sum _{n=1} ^{INF } {1+(-1) ^{n}} over {3 ^{n}} `][eqn: `=` {{2} over {9}} over {1- {1} over {9}} = {1} over {4} `]

무한급수 [eqn: sum_{n=1} ^inf `{1+(-1)^{`n} }over{3^{`n}} `]의 합은?

[3점][2013년 3월]

① [eqn: 1over8]	② [eqn: 1over4]	③ [eqn: 3over8]	④ [eqn: 1over2]	⑤ [eqn: 5over8]

정답률 87%

④

[출제의도] 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬을 이해한다.

주어진 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬을 [eqn: A`]라고 하자. 주어진 그래프의 꼭짓점의 개수가 [eqn: 6`]이므로 행렬 [eqn: A`]는 [eqn: 6]차 정사각행렬이고, 그 성분은 [eqn: 0]과 [eqn: 1]로 구성되어 있다. 즉, [eqn: 0]과 [eqn: 1]의 개수의 합은 [eqn: 36]이다. 그런데 행렬 [eqn: A`]의 성분의 총합은 그래프의 변의 개수의 두 배이고 변의 개수가 7이므로 행렬 [eqn: A`]의 성분 중 1의 개수는 [eqn: 14]이다.

따라서 [eqn: n=14], [eqn: m=36-14=22]이므로 [eqn: m-n=8]이다.

[다른 풀이]

주어진 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 한 행렬은 다음과 같다.

[eqn: LEFT ( pile{pile{pile{pile{pile{#}#}#}#}#pile{pile{#}#}} RIGHT .]	0	1	0	0	0	0	[eqn: pile{pile{pile{pile{pile{#}#}#}#}#pile{pile{#}#}} RIGHT)]
	1	0	1	0	0	1
	0	1	0	1	1	0
	0	0	1	0	1	0
	0	0	1	1	0	1
	0	1	0	0	1	0

위 행렬의 성분 중에서 [eqn: 1`]의 개수는 [eqn: 14`]이고, [eqn: 0`]의 개수는 [eqn: 22`]이다.

∴ [eqn: n=14], [eqn: m=22`]

∴ [eqn: m-n=8]

다음 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬의 성분 중 [eqn: 0`]의 개수를 [eqn: m], [eqn: 1]의 개수를 [eqn: n`]이라 할 때, [eqn: m-n`]의 값은?

[3점][2013년 3월]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

정답률 91%

⑤

[출제의도] 등차수열과 계차수열을 이해하고, 항의 값을 구한다.

[eqn: b _{n} =a _{n+1} -a _{n} `]이라 하면

수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } `]은 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 계차수열이고, 조건 (나)에서 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } `]은 등차수열이다.

조건 (가)에서

[eqn: b _{1} =a _{2} -a _{1} =2`]

[eqn: b _{2} =a _{3} -a _{2} =4`]

이므로 수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } `]은 첫째항이 [eqn: 2`]이고 공차가 [eqn: 2`]인 등차수열이다.

∴ [eqn: b _{n} =2n`]

따라서 [eqn: a _{n`}]은 다음과 같다.

[eqn: a _{n} =a _{1} + sum _{k=1} ^{n-1} b _{k} `]

[eqn: =1+ sum _{k=1} ^{n-1} 2k`]

[eqn: =1+2 TIMES {(n-1)n} over {2} `]

[eqn: =n ^{2} -n+1] [eqn: (n ge 2 )`]

∴ [eqn: a _{8} =57`]

[다른 풀이]

[eqn: a _{n+1} -a _{n} `]은 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 계차수열의 제[eqn: n`]항이다.

주어진 조건에서

[eqn: a _{2} -a _{1} =2`]

[eqn: a _{3} -a _{2} =4`]

따라서 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 계차수열은 공차가 [eqn: 2`]인 등차수열이므로 이를 이용하면

[eqn: a _{4} -a _{3} =6`]에서 [eqn: a _{4}=13`]

[eqn: a _{5} -a _{4} =8`]에서 [eqn: a _{5}=21`]

[eqn: a _{6} -a _{5} =10`]에서 [eqn: a _{6}=31`]

[eqn: a _{7} -a _{6} =12`]에서 [eqn: a _{7}=43`]

[eqn: a _{8} -a _{7} =14`]에서 [eqn: a _{8}=57`]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: a _{1} =1`], [eqn: a _{2} =3`], [eqn: a _{3} =7`]

(나) 수열 [eqn: LEFT { a _{n+1} -a _{n} RIGHT } `]은 등차수열이다.

[eqn: a _{8}`]의 값은?

[3점][2013년 3월]

① [eqn: 49]	② [eqn: 51]	③ [eqn: 53]	④ [eqn: 55]	⑤ [eqn: 57]

정답률 70%

①

[출제의도] 행렬을 이용하여 전력량 요금에 대한 실생활 문제를 해결한다.

전력량 요금은 다음과 같다.

[eqn: (100` TIMES59`)`+`left{(a-100) TIMES122right}`]

주어진 행렬에서

[eqn: {pmatrix{`100`&`a`#`0`&`x`}} ` {pmatrix{`59`#`122`}} `]

[eqn: = LEFT ( pile{100 TIMES 59+a TIMES 122#0 TIMES 59+x TIMES 122} RIGHT ) `]

[eqn: = LEFT ( pile{100 TIMES 59+a TIMES 122#x TIMES 122} RIGHT )]

성분의 합과 전력량 요금이 같으므로

[eqn: x=`-100`]

가정의 전력량 요금은 [eqn: 200` rm `kWh] 이하까지는 다음과 같은 방법으로 계산한다.

사용한 전력량 중에서 [eqn: 100` rm `kWh]까지는 [eqn: 1` rm `kWh]에 [eqn: 59]원이고, [eqn: 100` rm`kWh]를 초과한 나머지 전력량에 대해서는 [eqn: 1` rm `kWh]에 [eqn: 122]원이다.

한 달간 사용한 전력량이 [eqn: a` rm `kWh`]([eqn: 100`<`a`le`200`], [eqn: a`]는 자연수)인 어느 가정의 전력량 요금(원)은 행렬 [eqn: {pmatrix{`100`&``a`#`0`&``x`}} ` {pmatrix{`59`#`122`}} `]의 모든 성분의 합과 같다. [eqn: x`]의 값은?

[3점][2013년 3월]

① [eqn: -100]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 100]

※ 자연수 [eqn: n`]에 대하여 직선 [eqn: y=n`]이 두 곡선 [eqn: y=2 `^{x} `], [eqn: y=2 ^{`x-1`}]과 만나는 점을 각각 [eqn: rm`A_{`it n}`], [eqn: rm`B_{`it n}`]이라 하자. 또, 점 [eqn: rm`B_{`it n}`]을 지나고 [eqn: y`]축과 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=2 ^{`x} `]과 만나는 점을 [eqn: rm`C_{`it n}`]이라 하자. 다음 두 물음에 답하시오.

정답률 79%

③

[출제의도] 지수함수의 그래프를 이해하고, 직선의 기울기를 구한다.

[eqn: n=3`]일 때,

점 [eqn: rm `A _{`3}]이 함수 [eqn: f(x)=2 ^{`x} `]위에 있으므로

[eqn: rm `A _{it `3 rm} ( it `log _{2`} 3`,`3)``]

점 [eqn: rm `B _{`3`}]의 좌표를 [eqn: (b`,``3)`]이라고 하면 [eqn: y=2 ^{`x-1`}]위에 있으므로

[eqn: 2 ^{`b-1} =3`]

[eqn: b-1`=log _{`2} `3]이므로

[eqn: b=log _{2} `3+1=log _{`2} `(3 TIMES 2)=log _{`2} `6`]

즉, [eqn: rm `B _{3 rm} ( it `log _{2`} 6`,``3)``]이다.

그리고 점 [eqn: rm `C _{`3 rm}]의 좌표를 [eqn: (log _{2} `6`,``c)`]라고 하면

점 [eqn: rm `C _{`3`}][eqn: (log_{`2}`6 `,``c)`]이 곡선 [eqn: y=2 ^{`x} `]위에 있으므로

[eqn: c=2 ^{log _{`2} `6} =6`]

따라서 [eqn: rm `C _{`3 rm} ( it `log _{2} `6`,``6`)]이므로 직선 [eqn: rm A _{it 3 rm} C _{`3 rm}]의 기울기는

[eqn: {6-3} over {log _{2} 6-log _{2} 3}][eqn: = {3} over {log _{`2} ` {6} over {3}}][eqn: = {3} over {log` _{2} `2} `][eqn: =3]

[다른 풀이]

곡선 [eqn: y=2^{`x-1} `]은 곡선 [eqn: y=2^{`x} `]을 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 1`]만큼 평행이동시킨 것이므로

[eqn: rm bar{A_{`3} B_{`3} } = 1`]

점 [eqn: rm `B _{`3`}]의 [eqn: x`]좌표와 점 [eqn: rm `C _{`3 rm}]의 [eqn: y`]좌표를 각각 [eqn: a`], [eqn: b`]라 하면 [eqn: 2^{`a-1}=3`]이므로

[eqn: b=2^{`a}][eqn: = 2 cdot 2^{`a-1}][eqn: =2 times 3][eqn: =6]

따라서 [eqn: rm bar{B_{`3}C_{`3} }][eqn: =6-3][eqn: =3`]이므로

직선 [eqn: rm {A_{` 3} C_{` 3} }`]의 기울기는 [eqn: 3over1 =3`]이다.

[eqn: n=3`]일 때, 직선 [eqn: rm`A_{`it n} rmC_{it n}`]의 기울기는?

[3점][2013년 3월]

① [eqn: 2`]	② [eqn: {5} over {2} `]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: {7} over {2} `]	⑤ [eqn: 4`]

ROUND 03 11~15 15분 이내 풀기

69%

④

[출제의도] 지수함수의 그래프를 이용하여 수열의 극한에 대한 문제를 해결한다.

점 [eqn: rm `A _{it`n}`]이 곡선 [eqn: y=2` ^{x} `] 위에 있으므로 [eqn: rm `A _{it`n} ( it `log _{2`} n`,`n)``]이다. 점 [eqn: rm `B _{it`n} `]의 좌표를 [eqn: (b _{n} ,``n)]이라 하면 점 [eqn: rm `B _{it`n} `]이 곡선 [eqn: y=2 ^{`x-1`}]위의 점이므로 [eqn: 2 ^{`b _{n} -1} =n`]이다.

[eqn: b _{n} -1=log` _{2} n`], [eqn: b _{n} =1+log` _{2} n=log` _{2} 2n`]

∴ [eqn: rm `B _{it`n} ( it `log _{2`} 2n`,``n)``]

또, 점 [eqn: rm `C _{it`n} `]이 곡선 [eqn: y=2 ^{`x} `]위에 있으므로

[eqn: rm `C _{it`n} ( it `log _{2} `2n`,``2n`)]

따라서 [eqn: bar{rm `A _{it `n rm} B _{it`n}} it =1`], [eqn: bar{rm `B _{it`n} C _{it`n} it} it =2n`-n=n`]이므로

[eqn: bar{rm `A _{it `n rm} C _{it `n rm} it} it = sqrt {n ^{2} +1}]이다.

∴ [eqn: f(n`)= root {{} ^{}} of {n ^{2} +1} `], [eqn: g(n)=n`]

∴ [eqn: lim _{n -> inf} {} n LEFT { f(n)-g(n) RIGHT }]

[eqn: = lim _{n -> inf} {} n LEFT ( sqrt {n ^{2} +1} -n RIGHT )]

[eqn: = lim _{n -> inf} {} {n LEFT ( sqrt {n ^{2} +1} -n RIGHT ) LEFT ( sqrt {n ^{2} +1} +n RIGHT )} over {LEFT ( sqrt {n ^{2} +1} +n RIGHT )}]

[eqn: = lim _{n -> inf} {} {n} over {sqrt {n ^{2} +1} +n}]

[eqn: = lim _{n -> inf} {} {1} over {sqrt {1+ {1} over {n ^{2}}} +1}]

[eqn: = {1} over {2} `]

선분 [eqn: rm`A_{`it n} rmC_{it n}`]의 길이를 [eqn: f(n)`], 선분 [eqn: rm`B_{`it n} rmC_{it n}`]의 길이를 [eqn: g(n)`]이라 할 때, [eqn: lim_{n-> inf} `n` left{ f(n) -g(n) right}`]의 값은?

[3점][2013년 3월]

① [eqn: 1over5]	② [eqn: 1over4]	③ [eqn: 1over3]	④ [eqn: 1over2]	⑤ [eqn: 1]

정답률 79%

①

[출제의도] 지수법칙을 이해하고, 이를 이용하여 주어진 값을 구한다.

[eqn: 75=5 ^{- {1} over {x}} `], [eqn: 3=5 ^{{2} over {y}} `]이므로 [eqn: 5 ^{{1} over {x}} = {1} over {75} `], [eqn: 5 ^{{2} over {y}} `=3`]이다.

[eqn: 5 ^{{1} over {x} + {2} over {y}} =5 ^{{1} over {x}} TIMES 5 ^{{2} over {y}} =3 TIMES {1} over {75} = {1} over {25} =5 ^{-2`}]

∴ [eqn: {1} over {x} + {2} over {y} =`-2``]

두 실수 [eqn: x`], [eqn: y`]에 대하여
[eqn: 75 ^{x} = {1} over {5} `], [eqn: 3 ^{y} =25`]
일 때, [eqn: {1} over {x} + {2} over {y}`]의 값은?

[3점][2013년 3월]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1`]	③ [eqn: 0`]	④ [eqn: 1`]	⑤ [eqn: 2`]

정답률 71%

⑤

[출제의도] 무한급수의 수렴과 일반항의 극한의 관계를 이해하고, 극한값을 구한다.

무한급수 [eqn: sum _{n=1`} ^{INF } ` {a _{`n} -n} over {n} `]이 수렴하므로

[eqn: lim_{n->inf} left( {a_{`n} -n} over n right) = lim_{n->inf} left( {a_{`n} over n -1 right) =0`]

∴ [eqn: lim _{n -> INF } {{a _{`n}} over {n} =1}]

∴ [eqn: lim _{n -> INF } {} {5n+a _{`n}} over {5n-a _{`n}}] [eqn: = lim _{n -> INF } {} {5+ {a _{`n}} over {n}} over {5- {a _{`n}} over {n}}] [eqn: = {5+1} over {5-1}] [eqn: = 3over2 `]

[참고] 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{inf} a _{n} `]이 수렴하면 [eqn: lim _{n -> INF } {`a _{n} =0}]이다.

수열 [eqn: "{" a_{`n} "}" `]에 대하여 무한급수 [eqn: sum_{n=1}^{inf} {a_{`n} -n} over n `]이 수렴할 때, [eqn: lim_{n-> inf} {5n+ a_{`n} }over{5n- a_{`n} }`]의 값은?

[3점][2013년 3월]

① [eqn: 1over2]	② [eqn: 3over4]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: 5over4]	⑤ [eqn: 3over2]

정답률 59%

⑤

[출제의도] 로그함수의 그래프를 이용하여 삼각형의 넓이에 대한 문제를 해결한다.

두 점 [eqn: rmA`it(a`,``log _{2} `a)`], [eqn: rmB`it`(b`,``log _{`2} `b)`]가 기울기가 [eqn: 1`]인 직선 위에 있으므로 [eqn: {log _{`2} `b`-log _{`2} `a} over {b-a} =1`]이다.

즉, [eqn: log _{`2} `b`-log _{`2} `a= b-a`] … ㉠

직선 [eqn: l`]과 두 직선 [eqn: x=b`], [eqn: y=log _{`2} `a`]로 둘러싸인 부분은 밑변의 길이가 [eqn: b-a`]이고, 높이는 [eqn: log` _{2} `b-log _{`2} `a`]인 직각삼각형이다.

[eqn: {1} over {2} (b-a)(log _{`2} `b-log _{`2} `a)`=2] … ㉡

㉠을 ㉡에 대입하면

[eqn: {1} over {2} (b-a) TIMES (b-a)=2`]

[eqn: (b-a) ^{2} =4`], 즉, [eqn: b-a=2`] (∵ [eqn: a<b]) … ㉢

또, [eqn: log _{`2} `b-log _{2} a=2`]에서 [eqn: log _{`2} ` {b} over {a} =2`]이므로

[eqn: b=4a`] … ㉣

㉢, ㉣에서 [eqn: a= {2} over {3} `], [eqn: b= {8} over {3} `]

∴ [eqn: a+b= {10} over {3} `]

그림과 같이 기울기가 [eqn: 1`]인 직선 [eqn: l`]이 곡선 [eqn: y=log _{`2} `x`]와 서로 다른 두 점 [eqn: rm{A} it(a`,``log _{2} `a)`], [eqn: rm B it (b`,``log _{`2} `b)`]에서 만난다. 직선 [eqn: l`]과 두 직선 [eqn: x=b], [eqn: y=log _{`2} `a`]로 둘러싸인 부분의 넓이가 [eqn: 2`]일 때, [eqn: a+b`]의 값은? (단, [eqn: 0<a<b`]이다.)

[4점][2013년 3월]

① [eqn: 2]	② [eqn: 7 over {3} `]	③ [eqn: 8 over 3]	④ [eqn: 3`]	⑤ [eqn: {10} over {3}]

정답률 56%

②

[출제의도] 계차수열의 성질을 이용하여 일반항을 구할 수 있음을 증명한다.

[eqn: b _{n} =a _{n+1} -a _{n} `]이라 하면

[eqn: b _{1} =b _{2} =1`]이고 [eqn: b _{n+2} =b _{n} +1] ([eqn: n GEQ 1`])이다.

따라서 수열 [eqn: LEFT { b _{2n-1} RIGHT } `], [eqn: LEFT { b _{2n} RIGHT } `]은 모두 첫째항이 [eqn: 1`]이고, 공차가 [eqn: 1`]인 등차수열이다. 즉,

[eqn: b _{2n-1} =b _{2n} =n`] ([eqn: n GEQ 1`])

이다.

그러므로 [eqn: n ge 2]일 때 [eqn: a _{n} `]은 다음과 같다.

ⅰ) [eqn: n`]이 홀수일 때, [eqn: n=2m-1`]이라 하면

[eqn: a _{2m-1} =a _{1} + sum _{k=1} ^{2m-2} b _{k}]

[eqn: =a _{1} + sum _{k=1} ^{m-1} (b _{2k-1} +b _{2k} )]

[eqn: =0+ sum_{k=1} ^{m-1} k + sum_{k=1} ^{m-1} k `]

[eqn: =2 TIMES ` {(m-1)m} over {2} `]

= [eqn: m ^{2} -m]

ⅱ) [eqn: n`]이 짝수일 때, [eqn: n=2m`]이라 하면

[eqn: a _{2m} =a _{1} + sum _{k=1} ^{2m-1} b _{k}]

[eqn: =a _{1} + sum _{k=1} ^{m-1} (b _{2k-1} +b _{2k} )+b _{2m-1}]

[eqn: =0+ sum _{k=1} ^{m-1} 2k`+m]

[eqn: =2 TIMES ` {(m-1)m} over {2} `+m]

= [eqn: m ^{2}]

따라서 [eqn: f(n)=n`], [eqn: g(m)=m ^{2} `]이다.

∴ [eqn: f(10)+g(10)=110`]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]은 [eqn: a _{1} =0`], [eqn: a _{2} =1`], [eqn: a _{3} =2`]이고,
[eqn: a _{n+3} -a _{n+2} =`a _{n+1} -a _{n} +1`] ([eqn: n GEQ 1`])
을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a _{n} `]을 구하는 과정이다.

[eqn: b _{n} =`a _{n+1} -a _{n}]이라 하면

[eqn: b _{`1}=``b_{`2} =`1`],  [eqn: b _{n+2} =`b _{n} +1] ([eqn: n GEQ 1`])

이므로 두 수열 [eqn: LEFT { b _{`2n-1} RIGHT } `], [eqn: LEFT { b _{`2n} RIGHT } `]은 모두 첫째항이 [eqn: 1`]이고, 공차가 [eqn: 1`]인 등차수열이다. 즉,

[eqn: b _{2n-1} =``b _{2n} =`] ([eqn: n GEQ 1`])

(가)

이다.

그러므로 [eqn: n GEQ2`]일 때, [eqn: a _{n} `]은 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: n`]이 홀수일 때, [eqn: n=2m-1`]이라 하면

[eqn: a _{2m-1}][eqn: =a _{1} + sum _{k=1} ^{2(m-1)} b _{k}]

[eqn: =a _{1} + sum _{k=1} ^{m-1} (b _{2k-1} +b _{2k} )]

[eqn: =`][eqn: m ^{2} -m]

(ⅱ) [eqn: n`]이 짝수일 때, [eqn: n=2m`]이라 하면

[eqn: a _{2m}][eqn: =a _{1} + sum _{k=1} ^{2m-1} b _{k}]

[eqn: =`]

(나)

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n)`], [eqn: g(m)`]이라 할 때,  [eqn: f(10)+g(10)``]의 값은?

[4점][2013년 3월]

① [eqn: 100]	② [eqn: 110]	③ [eqn: 120]	④ [eqn: 130]	⑤ [eqn: 140]

ROUND 04 16~21 20분 이내 풀기

정답률 75%

②

[출제의도] 도형의 닮음비를 이용하여 무한등비급수 문제를 해결한다.

점 [eqn: rm C_1]이 반원 [eqn: O _{1}] 위에 있으므로 삼각형 [eqn: rm A _{1} B _{1} C _{1}]은 선분 [eqn: rm A _{1} B _{1}]이 빗변인 직각삼각형이다.

따라서 [eqn: rm bar{A _{1} C _{1}} =4`cos30°=2 sqrt {3}],  [eqn: rm bar{B _{1} C _{1}} =4`sin30°=2]이다.

∴ [eqn: S _{1} = {1} over {2} TIMES 2 sqrt {3} TIMES 2`=2 sqrt {3} `]

이때 반원 [eqn: O _{1}]의 지름의 중점을 [eqn: rm M_{`1} `]이라 하면 선분 [eqn: rm A _{2} B _{2}]는 선분 [eqn: rm A_1 C_1]의 수직이등분선이고 현의 수직이등분선은 원의 중심을 지나므로 선분 [eqn: rm A _{2} B _{2}]의 연장선은 반원 [eqn: O _{1}]의 지름의 중점 [eqn: rm M_{`1} `]을 지난다.

[eqn: bar{ rm M_{`1} `A_{`2} }= 2` sin 30 DEG = 1`]이므로

[eqn: rm bar{A _{2} B _{2}} =2-1=1`]

[eqn: S _{2} = {1} over {2} TIMES sqrt {3} over {2} TIMES {1} over {2} `= {sqrt {3}} over {8} `]

마찬가지로, 삼각형 [eqn: rm A _{it n} B _{it n} C _{it n}]은 [eqn: rm bar{A _{it it`n rm } B _{it` it n rm } `}]이 빗변인 직각삼각형이고, 삼각형 [eqn: rm A _{it n-1 rm} B _{it n-1 rm} C _{it n-1 rm}]의 빗변은

[eqn: rm bar{{A _{it n-1 rm}} B _{it n-1 rm} `}][eqn: rm = {1} over {4} TIMES bar{A _{it n rm} B _{it n rm} `}]

두 닮은 삼각형의 길이의 비는 [eqn: 4:1`]이므로 넓이의 비는 [eqn: 16:1`]이다.

따라서 [eqn: left{S _{n} `right}`]은 첫째항이 [eqn: 2 sqrt {3}]이고 공비가 [eqn: {1} over {16}]인 등비수열이다.

∴ [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n}][eqn: = {2 sqrt {3}} over {1- {1} over {16}} `] [eqn: = {32 sqrt {3}} over {15} `]

그림과 같이 길이가 [eqn: 4]인 선분 [eqn: rm A _{1} B _{1}]을 지름으로 하는 반원 [eqn: O _{1}]을 그리고, 반원 [eqn: O_1] 위에 [eqn: ANGLE rm C_1 A_1 B_1 = 30 °]가 되도록 점 [eqn: rm C_1]을 정한다. 이때 삼각형 [eqn: rm A _{1} B _{1} C _{1}]의 넓이를 [eqn: S _{1}]이라 하자.
선분 [eqn: rm A_1 C_1]의 중점을 [eqn: rm A_2]라 하고, 호 [eqn: rm A_1 B_2 `]와 호 [eqn: rm C_1 B_2 `]의 길이가 같도록 점 [eqn: rm B_2 `]를 정한다. 선분 [eqn: rm A _{2} B _{2}]를 지름으로 하는 반원 [eqn: O_2]를 그리고, 반원 [eqn: O _{2}] 위에 [eqn: ANGLE rm C _{2} A _{2} B _{2} =30 °]가 되도록 점 [eqn: rm C _{2} `]를 정한다. 이때 삼각형 [eqn: rm A _{2} B _{2} C _{2}]의 넓이를 [eqn: S _{2}`]라 하자.
선분 [eqn: rm A _{2} C _{2}]의 중점을 [eqn: rm A_3]이라 하고, 호 [eqn: rm A_2 B_3 `]과 호 [eqn: rm C_2 B_3 `]의 길이가 같도록 점 [eqn: rm B_3 `]을 정한다. 선분 [eqn: rm A _{3} B _{3}]을 지름으로 하는 반원 [eqn: O _{3}]을 그리고, 반원 [eqn: O _{3}] 위에 [eqn: ANGLE rm C _{3} A _{3} B _{3} =30 °]가 되도록 점 [eqn: rm C _{3} `]을 정한다. 이때 삼각형 [eqn: rm A _{3} B _{3} C _{3}]의 넓이를 [eqn: S _{3}`]이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 얻은 삼각형 [eqn: rm A _{ it`n} B _{`itn} C _{`itn} `]의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n}]의 값은?

[4점][2013년 3월]

① [eqn: 2 sqrt {3}}]	② [eqn: {32 sqrt {3}} over {15}]	③	[eqn: {34 sqrt {3}} over {15}]

④ [eqn: {12 sqrt {3}} over {5}]	⑤ [eqn: {38 sqrt {3}} over {15}]

정답률 58%

①

[출제의도] 수열의 합과 일반항과의 관계를 이해하고, 수열의 합을 구한다.

[eqn: sum _{k=1} ^{n} {a _{k}} over {k+1} =n ^{2} +n`]을 전개하면

[eqn: {a _{1}} over {2} + {a _{2}} over {3} + {a _{3}} over {4} +` CDOTS `+` {a _{n}} over {n+1} =n ^{2} +n`] … ㉠

㉠에 의해 [eqn: 2`]이상의 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: {a _{1}} over {2} + {a _{2}} over {3} + {a _{3}} over {4} +` CDOTS `+` {a _{n-1}} over {n} =(n-1) ^{2} +(n-1)`] … ㉡

㉠[eqn: -]㉡에서

[eqn: ` {a _{n}} over {n+1}`]

[eqn: =n ^{2} +n`- LEFT { (n-1 ) ^{2} +(n-1) RIGHT } `]

[eqn: =2n`]

∴ [eqn: a _{n} =2n(n+1)`] ([eqn: n=2`], [eqn: 3`], [eqn: 4`], [eqn: cdots`])

한편 ㉠에서 [eqn: {a _{1}} over {2} =1 ^{2} +1], [eqn: a _{1} =4`]

∴ [eqn: a _{n} =2n(n+1)`] ([eqn: n=1`], [eqn: 2`], [eqn: 3`], [eqn: cdots`])

[eqn: sum _{n=1} ^{10} {1} over {a _{n}} `]

[eqn: = sum _{n=1} ^{10} {1} over {2n(n+1)} `]

[eqn: = {1} over {2} sum _{n=1} ^{10} LEFT ( {1} over {n} - {1} over {n+1} RIGHT ) `]

[eqn: = {1} over {2} LEFT { LEFT ( 1- {1} over {2} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {2} - {1} over {3} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {3} - {1} over {4} RIGHT ) +cdots+ LEFT ( {1} over {10} - {1} over {11} RIGHT ) RIGHT } `]

[eqn: = {1} over {2} LEFT ( 1- {1} over {11} RIGHT ) `]

[eqn: = {5} over {11} `]

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]이 자연수 [eqn: n`]에 대하여
[eqn: sum _{k=1} ^{n} {a _{k}} over {k+1} =n^{`2} +n`]
을 만족시킬 때, [eqn: sum_{n`=1 `}^{10} {1} over {a _{`n} } `]의 값은?

[4점][2013년 3월]

① [eqn: 5over11]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: {6} over {11}]	④ [eqn: 13over22]	⑤ [eqn: 7over11]

정답률 70%

④

[출제의도] 이차함수와 지수함수의 합성함수의 최대ㆍ최소를 이해한다.

[eqn: f(x)=x ^{2} -6x+3=(x-3) ^{2} -6`]이므로

[eqn: 1 LEQ x LEQ 4`]에서 [eqn: -6 LEQ f(x) LEQ -2`]이다.

ⅰ) [eqn: 0<a<1`]일 때

[eqn: g(x)=a ^{x} `]는 감소함수이므로

[eqn: (g circ f)(x)`]는 [eqn: f(x)=-6`]일 때 최댓값을 갖고,

[eqn: f(x)=-2`]일 때 최솟값을 갖는다.

따라서 [eqn: a ^{-6} =27`]이므로

[eqn: a= {sqrt {3}} over {3} `]

∴ [eqn: m=a ^{-2} =3`]

ⅱ) [eqn: a>1`]일 때

[eqn: g(x)=a ^{x} `]는 증가함수이므로

[eqn: (g circ f)(x)`]는 [eqn: f(x)=-2`]일 때 최댓값을 갖고,

[eqn: f(x)=-6`]일 때 최솟값을 갖는다.

따라서 [eqn: a ^{-2} =27`]이므로

[eqn: a= {sqrt {3}} over {9} `]

그런데 [eqn: a>1`]을 만족시키지 않으므로 이 경우는 불가능하다.

ⅰ), ⅱ)에서 [eqn: (g circ f)(x)`]의 최솟값은 [eqn: 3`]이다.

두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)`]를
[eqn: f(x)=x ^{2} -6x+3`], [eqn: g(x)=a ` ^{x} `]([eqn: a>0`], [eqn: a!=1`])
이라 하자. [eqn: 1 LEQ x LEQ 4`]에서 함수 [eqn: (g circ f)(x)`]의 최댓값은 [eqn: 27`], 최솟값은 [eqn: m`]이다. [eqn: m`]의 값은?

[4점][2013년 3월]

① [eqn: {1} over {27} `]	② [eqn: 1over3]	③ [eqn: {sqrt {3}} over {3} `]	④ [eqn: 3`]	⑤ [eqn: 3 sqrt {3} `]

정답률 75%

②

[출제의도] 주어진 수열의 규칙성을 추론하여 두 항의 차를 구한다.

[eqn: a _{2} -a _{1} =98-1]

[eqn: a _{3} -a _{2} =95-2 TIMES 2]

[eqn: a _{4} -a _{3} =91-3 TIMES 3]

[eqn: vdots]

이므로 [eqn: X]를 제[eqn: 13]행에 적힌 수 중 오른쪽 끝에 적힌 수라고 하면

[eqn: a _{13} -a _{12} =X-12 ^{2}]임을 추론할 수 있다.

이때,

[eqn: X```=`100-(2+3+ `CDOTS` +13)]

[eqn: =101-(1+2+3+ `CDOTS` +13)]

[eqn: =101- {13 cdot14}over2]

[eqn: =10]

∴ [eqn: a _{13} -a _{12} =10-12 ^{2} `= -134]

[다른 풀이]

제[eqn: n]행의 수 중 왼쪽 끝에 적힌 수를 [eqn: l_n]이라 하면

[eqn: l_n = 100 - 1-2- `cdots `- (n-1)]

[eqn: = 100 - {n(n-1)} over 2]

따라서 제[eqn: n]행에 적힌 수의 합 [eqn: a_n]은

[eqn: a_n = {{n"{"200-n(n-1)+(n-1)cdot(-1)"}"}over2]

[eqn: = {n(201-n^2 )} over 2]

따라서 [eqn: a_13 = 208], [eqn: a_12 = 342]이므로 구하는 값은

[eqn: a _{13} -a _{12} =208-342]

[eqn: =`-134]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 다음과 같은 규칙으로 제[eqn: n`]행에 [eqn: n`]개의 정수를 적는다.

(가) 제[eqn: `1]행에는 [eqn: 100]을 적는다.

(나) 제[eqn: (n+1)]행의 왼쪽 끝에 적힌 수는 제[eqn: n`]행의 오른쪽 끝에 적힌 수보다 [eqn: 1]이 작다.

(다) 제[eqn: n`]행의 수들은 왼쪽부터 순서대로 공차가 [eqn: -1]인 등차수열을 이룬다. ([eqn: n GEQ 2])

제[eqn: n`]행에 적힌 모든 수의 합을 [eqn: a _{n}]이라 할 때, [eqn: a _{13} -a _{12}]의 값은?

[4점][2013년 3월]

① [eqn: -136]	② [eqn: -134]	③ [eqn: -132]	④ [eqn: -130]	⑤ [eqn: -128]

제[eqn: 1]행	[eqn: 100]
제[eqn: 2]행	[eqn: 99]	[eqn: 98]
제[eqn: 3]행	[eqn: 97]	[eqn: 96]	[eqn: 95]
제[eqn: 4]행	[eqn: 94]	[eqn: 93]	[eqn: 92]	[eqn: 91]
제[eqn: 5]행	[eqn: 90]	[eqn: 89]	[eqn: 88]	[eqn: 87]	[eqn: 86]
[eqn: vdots]			[eqn: vdots]			[eqn: ddots]

정답률 59%

③

[출제의도] 행렬의 연산을 이해하고, 주어진 조건에 맞는 행렬의 성질을 추론한다.

ㄱ. [eqn: (A+B`)^2`=`O`]에서

[eqn: (A+B)(A+B)`=`O]

[eqn: A^2 +AB+BA+B^2 `=`O]

이때 [eqn: A` ^{2} `+B` ^{2} `=`O`]이므로 [eqn: AB+BA`=`O]

∴ [eqn: A`B``=`-BA]

ㄴ. [eqn: AB```=`-BA`], [eqn: A^{`2} =` -B^{`2}]이고, 행렬의 곱셈에 대한 결합법칙이

성립하므로

[eqn: ``A ^{`3} B ^{`3}][eqn: `= left( A^{`2} A right) left( B B^{`2} right)]

[eqn: = left( -B^{`2} right) left( AB` right) left( -A^{`2} right)]

[eqn: = left( -B^{`2} right) left( -B`A right) left( -A^{`2} right)]

[eqn: =`-B^{`3} A^{`3}]

ㄷ. 행렬 [eqn: A+B+E`]에 행렬 [eqn: A+B-E`]를 곱하면

[eqn: (A+B+E`)(A+B-E`)][eqn: =(A+B) ^{2} -E ^{`2} `][eqn: =O-E`][eqn: =-E`]

즉, [eqn: (A+B+E`)(E-A-B`)=E`]

따라서 [eqn: A+B+E`]의 역행렬은 [eqn: E-A-B`]이다.

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

[참고]

주어진 조건을 만족시키는 행렬의 예

[eqn: A`=` {pmatrix{`1`&`````````0`#`0`&`-1`}}], [eqn: B`=` {pmatrix{````````0`&```1`#`-1`&```0`}}]

영행렬이 아닌 두 이차정사각행렬 [eqn: A,``B`]가
[eqn: A` ^{`2} `+B` ^{`2} `=O`], [eqn: (A+B`) ^{`2} `=O`]
를 만족시킬 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: E`]는 단위행렬이고, [eqn: O`]는 영행렬이다.)

[4점][2013년 3월]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: A`B```=`-B`A] ㄴ. [eqn: A ^{3} B^{3}```=B`^{`3}A` ^{3}] ㄷ. 행렬 [eqn: A+B+E`]는 역행렬을 갖는다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답률 44%

①

[출제의도] 이차함수와 원의 접선을 이용하여 수열의 극한값을 구한다.

원 [eqn: C _{` it `n rm } `]의 중심이 [eqn: rm P _{it n rm} it left(n,``n ^{2} right )`]이고 [eqn: y`]축에 접하므로, 반지름의 길이는 [eqn: n`]이다. 또 원점을 지나고 기울기가 [eqn: a _{n} `]인 직선의 방정식은 [eqn: y=a _{n} `x] 즉, [eqn: a _{n} x-y=0`]이다.

원 [eqn: C _{` it `n rm } `]과 직선 [eqn: a _{n} x-y=0`]이 접하므로 원의 중심 [eqn: rm P _{it n rm} it left(n,~n ^{`2} right )`]에서 직선 [eqn: a _{n} x-y=0`]에 이르는 거리가 [eqn: n`]이다.

∴ [eqn: {LEFT | n`a _{n} -n ^{`2} RIGHT |} over {sqrt {a _{n} ^{2} +1}} =n`]

[eqn: {LEFT | `a _{n} -n RIGHT |} over {sqrt {a _{n} ^{2} +1}} =1`]

양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: a _{n} ^{2} -2`n a _{`n} `+n ^{`2} =a _{`n} ^{`2} +1`]

∴ [eqn: a _{`n} = {n ^{`2} -1} over {2n}]

∴ [eqn: lim _{n -> INF } {} {a _{`n}} over {n} ```= `lim _{n -> INF } {} {n ^{`2} -1} over {2n ^{2}} `]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} {1- {1} over {n ^{2}}} over {2}]

[eqn: ``= {1} over {2}]

[다른 풀이]

원의 방정식은

[eqn: (x-n) ^{2} +(y-n ^{2} ) ^{2} =n ^{2} `]

[eqn: y=a _{n} `x]를 대입하면

[eqn: (x-n) ^{2} +(a _{n} x-n ^{2} ) ^{2} =n ^{2} `]

[eqn: x ^{2} -2nx+n ^{2} +a _{n} ^{2} x ^{2} -2n ^{2} a _{n} x+n ^{4} =n ^{2} `][eqn: (1+a _{n} ^{2} )x ^{2} -2(n+n ^{2} a _{n} )x+n ^{4} =0`]

직선과 원이 접하므로 판별식

[eqn: D over 4 = LEFT ( n+n ^{`2} a _{n} RIGHT ) ^{2} -n ^{`4} (1+a _{n} ^{`2} )=0`]이다.

[eqn: 2n^{`3}` a _{`n} = n^{`4}- n^{`2} `]

∴ [eqn: a _{`n} = {n ^{`2} -1} over {2n}]

∴ [eqn: lim _{n -> INF } {} {a _{`n}} over {n}][eqn: = {1} over {2}]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 곡선 [eqn: y=x^{`2}] 위의 점 [eqn: {rm P}_ n (n,~n^{`2})`]을 중심으로 하고 [eqn: y`]축에 접하는 원을 [eqn: C_{` it n}`]이라 하자. 원점을 지나고 원 [eqn: C_{` it n}`]에 접하는 직선 중에서 [eqn: y`]축이 아닌 직선의 기울기를 [eqn: a_{`n}]이라 할 때, [eqn: lim_{n -> inf} { `a_{`n}}over n `]의 값은?

[4점][2013년 3월]

① [eqn: 1over2]	② [eqn: 3over4]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: 5over4]	⑤ [eqn: 3over2]

단답형

ROUND 02 22~26 15분 이내 풀기

정답률 87%

7

[출제의도] 로그의 성질을 이용하여 로그방정식의 해를 구한다.

[eqn: log _{2} (2x-5)=2log _{2} 3`]

[eqn: log _{2} (2x-5)=log _{2} 3 ^{2} =log _{2} 9`]

로그함수는 일대일함수이므로 [eqn: 2x-5=9`]

∴ [eqn: x=7`]

방정식 [eqn: log_{`2}`(2x-5) = 2 `log_{`2}`3 `]의 해를 구하시오.

[3점][2013년 3월]

정답률 83%

17

[출제의도] 이차정사각행렬의 역행렬을 알고, 이를 계산한다.

[eqn: A`]의 역행렬을 구하면

[eqn: A ^{-1} = {1} over {3 TIMES a-(-3) TIMES (1-a)} {pmatrix{```````a&`````3`#-1+a&`````3`}} `]

[eqn: = {1} over {3} {pmatrix{```````a&`````3`#-1+a&`````3`}} `]

따라서 [eqn: A ^{-1} `]의 모든 성분의 합은

[eqn: {1} over {3} (2a+5)=13`]

∴ [eqn: a=17`]

행렬 [eqn: A= {pmatrix{```3&```-3`#`1-a&````````a}} `]의 역행렬 [eqn: A^{`-1}`]의 모든 성분의 합이 [eqn: 13`]일 때, 상수 [eqn: a`]의 값을 구하시오.

[3점][2013년 3월]

정답률 71%

11

[출제의도] 합의 기호 [eqn: sum _{} ^{}]의 성질을 이해한다.

[eqn: sum _{k=1} ^{n+1} k ^{2} - sum _{k=1} ^{n} LEFT ( k ^{2} +k RIGHT )]

[eqn: = sum _{k=1} ^{n} k ^{2} +(n+1) ^{2} - sum _{k=1} ^{n} LEFT ( k ^{2} +k RIGHT )]

[eqn: =(n+1) ^{2} + sum _{k=1} ^{n} k ^{2} - sum _{k=1} ^{n} LEFT ( k ^{2} +k RIGHT )]

[eqn: =(n+1) ^{2} + sum _{k=1} ^{n} LEFT { k ^{2} - LEFT ( k ^{2} +k RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: =(n+1) ^{2} - sum _{k=1} ^{n} k]

[eqn: =(n+1) ^{2} - {n(n+1)} over {2} `]

[eqn: = {(n+1)(n+2)} over {2} `]

따라서 [eqn: {(n+1)(n+2)} over {2} =78`], [eqn: n ^{2} +3n-154=0`]

[eqn: (n-11)(n+14)=0`]

∴ [eqn: n=11`] (∵ [eqn: n`]은 자연수)

다음 등식을 만족시키는 자연수 [eqn: n`]의 값을 구하시오.

[3점][2013년 3월]

[eqn: sum _{k=1} ^{n+1} k^{`2}`` - sum _{k=1} ^{n} (k^{`2}+k) =78`]

정답률 52%

10

[출제의도] 무한등비수열의 수렴조건을 이해한다.

무한등비수열 [eqn: LEFT { LEFT ( {2x-3} over {5} RIGHT ) ^{n} RIGHT } `]이 수렴하려면 공비가 [eqn: -1`~]보다 크고 [eqn: 1`]보다 작거나 같아야 하므로

[eqn: -1< {2x-3} over {5} LEQ 1`], [eqn: -5<2x-3 LEQ 5`], [eqn: -2<2x LEQ 8`]

∴ [eqn: -1<x LEQ 4`]

따라서 구하는 정수 [eqn: x`]는

[eqn: x=0], [eqn: 1`], [eqn: 2`], [eqn: 3`], [eqn: 4`]이고 그 합은 [eqn: 10`]이다.

[참고]

주어진 무한등비수열은 [eqn: -1<x<4`]일 때 [eqn: 0`]으로 수렴하고, [eqn: x=4`]일 때 [eqn: 1`]로 수렴한다.

무한등비수열 [eqn: LEFT {` left({ 2x-3 over 5 } right) ^{`n} ` RIGHT }]이 수렴하도록 하는 모든 정수 [eqn: x`]의 합을 구하시오.

[3점][2013년 3월]

정답률 42%

125

[출제의도] 로그방정식으로 표현된 관계식을 이용하여 실생활 문제를 해결한다.

[eqn: C``=40`]일 때 [eqn: I`=5`]이므로

[eqn: 5=k`log``40+a`] … ㉠

[eqn: C``=10`]일 때 [eqn: I`=4`]이므로

[eqn: 4=k`log`10+a`] … ㉡

㉠[eqn: -]㉡에서

[eqn: 1=k`(log`40-1)][eqn: =k`log`4]

∴ [eqn: k= {1} over {log`4} =log` _{4} 10]

㉡에 대입하면

[eqn: a=4-log` _{4} 10`]

∴ [eqn: I`=(log _{`4} 10) `log` C``+4-log _{`4} 10`]

[eqn: C```=p`]일 때 [eqn: I```=2.5`]이므로

[eqn: 2.5=log _{4} ``10`` TIMES log``p+4-log _{4} ``10]

[eqn: -1.5=(log``p-1)`log _{4}`10]

∴ [eqn: log {p} over {10} =-1.5`log`4=log`4 ^{- {3} over {2}} =log` {1} over {8} `]

따라서 [eqn: {p} over {10} = {1} over {8} `]이므로 [eqn: p=1.25`]

∴ [eqn: 100p=125`]

공기 중의 암모니아 농도가 [eqn: C``]일 때 냄새의 세기 [eqn: I``]는 다음 식을 만족시킨다고 한다.
[eqn: I = k log ` C`` `+ a`] (단, [eqn: k`]와 [eqn: a`]는 상수이다.)
공기 중의 암모니아 농도가 [eqn: 40`]일 때 냄새의 세기는 [eqn: 5`]이고, 공기 중의 암모니아 농도가 [eqn: 10`]일 때 냄새의 세기는 [eqn: 4`]이다. 공기 중의 암모니아 농도가 [eqn: p`]일 때 냄새의 세기는 [eqn: 2.5`]이다. [eqn: 100`p`]의 값을 구하시오. (단, 암모니아 농도의 단위는 [eqn: rmppm`]이다.)

[4점][2013년 3월]

ROUND 05 20분 이내 풀기

정답률 28%

540

[출제의도] 상용로그의 지표를 이해하고, 주어진 식을 만족시키는 자연수를 구한다.

[eqn: f(m)`]은 [eqn: log`m]의 지표이므로 정수이고

[eqn: 1 LEQ m LEQ 1000`]에서 [eqn: 0 LEQ f(m) LEQ 3`],

[eqn: 2 LEQ 2m LEQ 2000`]에서 [eqn: 0 LEQ f(2m) LEQ 3`]이다.

따라서 주어진 조건 [eqn: 2f(m)-f(2m)=1`]을 만족시키는 순서쌍 [eqn: LEFT ( f(m),``f(2m) RIGHT ) `]은 [eqn: (1,``1)], [eqn: (2,``3)`]이다.

ⅰ) [eqn: LEFT ( f(m),``f(2m) RIGHT ) =(1,``1)`]일 때

[eqn: f(m)=1`]에서 [eqn: 10 LEQ m<100]

[eqn: f(2m)=1`]에서 [eqn: 10 LEQ 2m<100`]

따라서 [eqn: 10 LEQ m<50`]이므로 [eqn: m`]은 [eqn: 40`]개다.

ⅱ) [eqn: LEFT ( f(m),``f(2m) RIGHT ) =(2,``3)`]일 때

[eqn: f(m)=2`]에서 [eqn: 100 LEQ m<1000]

[eqn: f(2m)=3`]에서 [eqn: 1000 LEQ 2m<10000`]

따라서 [eqn: 500 LEQ m<1000`]이므로 [eqn: m`]은 [eqn: 500`]개다.

ⅰ), ⅱ)에서 구하는 [eqn: m`]의 개수는 [eqn: 540`]이다.

양수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: log`x`]의 지표를 [eqn: f(x)`]라 하자. 등식
[eqn: 2f(m)-f(2m)=1`]
을 만족시키는 [eqn: 1000] 이하의 자연수 [eqn: m`]의 개수를 구하시오.

[4점][2013년 3월]

정답률 40%

65

[출제의도] 행렬로 표현된 연립일차방정식과 직선의 방정식을 이용하여 해를 구한다.

조건 (나)에서 점 [eqn: (0,``0)`]은 직선 [eqn: 2x-y+1=0`] 위의 점이 아니므로

[eqn: alpha!=0], [eqn: beta!=0`]이다.

따라서 조건 (가)의 방정식

[eqn: {pmatrix{````````1&```-1`#`-4&``````````1`}} {pmatrix{`x`#`y`}} =k` {pmatrix{`x`#`y`}} `], 즉 [eqn: {pmatrix{`1-k&````-1`#`-4&````1-k`}} {pmatrix{`x`#`y`}} = {pmatrix{`0`#`0`}} `]

은 [eqn: x=0`], [eqn: y=0`] 이외의 해를 가져야 한다.

따라서 행렬 [eqn: {pmatrix{`1-k&````-1`#`-4&````1-k`}} `]가 역행렬을 갖지 않아야 하므로

[eqn: (1-k) ^{2} -4=0]이다.

∴ [eqn: k=`-1`] 또는 [eqn: 3]

ⅰ) [eqn: k=`-1`]일 때

방정식의 해 [eqn: (x,``y)`]에 대해 [eqn: 2x-y=0`]이므로 [eqn: 2x-y+1=0`]을

만족시키는 해는 없다.

ⅱ) [eqn: k=3`]일 때

방정식의 해 [eqn: (x,``y)`]에 대해 [eqn: 2x+y=0`]이다. 즉, [eqn: 2alpha+beta=0`]이고,

이를 [eqn: 2alpha-beta+1=0`]과 연립하여 풀면 [eqn: alpha=- {1} over {4} `], [eqn: beta= {1} over {2} `]

∴ [eqn: 20(k+ alpha + beta )`][eqn: =20 LEFT ( 3- {1} over {4} + {1} over {2} RIGHT ) `][eqn: =65`]

두 실수 [eqn: alpha`], [eqn: beta`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: x=alpha`], [eqn: y=beta`]는 연립방정식 [eqn: {pmatrix{`````````1&``-1`#`-4&`````````1`}} {pmatrix{`x`#`y`}}` =k` {pmatrix{`x`#`y`}} `]의 해이다. (단, [eqn: k`]는 상수이다.)

(나) 점 [eqn: ( alpha,~ beta)`]는 직선 [eqn: 2x -y +1=0] 위의 점이다.

[eqn: 20(k+ alpha + beta )`]의 값을 구하시오.

[4점][2013년 3월]

정답률 32%

31

[출제의도] 지수함수의 그래프를 이용하여 주어진 문제를 해결한다.

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x-5} -64]의 그래프는 함수 [eqn: y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x} `]의 그래프를 [eqn: x`]축의

방향으로 [eqn: 5`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: -64`]만큼 평행이동시킨 것이다.

따라서 이 그래프가 [eqn: y`]축과 만나는 점의 [eqn: y`]좌표는

[eqn: f(0)= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{-5} -64`][eqn: =2 ^{5} -64=-32`]

점근선의 방정식은 [eqn: y=-64`]이므로

[eqn: y= LEFT | f(x) RIGHT | = {cases{LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x-5} -64&``(x<`-1)#eqalign{# - LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x-5} +64}&eqalign{# ```(x GEQ -1)}}}]

의 그래프는 그림과 같다.

이때, 곡선 [eqn: y= LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | `]의 그래프와 직선 [eqn: y=k`]가 제[eqn: 1`]사분면에서 만나기 위해서는 [eqn: 32<k<64`]이어야 한다.

따라서 구하는 자연수 [eqn: k]의 개수는

[eqn: 64-32-1=31`]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x-5}-64`]에 대하여 함수 [eqn: y= left| `f(x)` right|`]의 그래프와 직선 [eqn: y=k`]가 제[eqn: 1`]사분면에서 만나도록 하는 자연수 [eqn: k`]의 개수를 구하시오. (단, 좌표축은 어느 사분면에도 속하지 않는다.)

[4점][2013년 3월]

정답률 21%

61

[출제의도] 등차수열의 합에 대한 성질을 이용하여 조건에 맞는 자연수를 추측한다.

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 공차를 [eqn: d`]라 하면

[eqn: T _{n} = LEFT | {n LEFT { 120+(n-1)d RIGHT }} over {2} RIGHT | `]

[eqn: T_{`20} = T_{`21} `]이므로

[eqn: LEFT |` {20 LEFT ( 120+19d RIGHT)} over {2}` RIGHT | = LEFT | `{21 LEFT ( 120+20d RIGHT )} over {2}` RIGHT | `]

ⅰ) [eqn: {20 LEFT ( 120+19d RIGHT)} over {2}` = `{21 LEFT ( 120+20d RIGHT )} over {2}``]일 때

[eqn: d=`-3`]

이때 조건 [eqn: T_{`19} < T_{`20} `]이 성립한다.

ⅱ) [eqn: {20 LEFT ( 120+19d RIGHT)} over {2}` = `- `{21 LEFT ( 120+20d RIGHT )} over {2}``]일 때

[eqn: d=`- 123 over 20 `]

이때 조건[eqn: T_{`19} < T_{`20} `]이 성립하지 않는다.

따라서 [eqn: T _{n} = LEFT | { - 3n^{`2} +123n } over {2} RIGHT | `]이다.

[eqn: f(x)=LEFT | { - 3x^{`2} +123x } over {2} RIGHT | `]라 하면 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 다음과 같다.

위 그래프에서 [eqn: f(41)= 0`]이므로 [eqn: T_{`41} =0`]

그러므로 [eqn: T_{`21} > T_{`22} > T_{`23} > `cdots `> T_{`41}=0 `], [eqn: T_{`41} < T_{`42} `]

따라서 [eqn: T_{`n} >T_{`n+1} `]을 만족시키는 [eqn: n`]의 값은

[eqn: 21], [eqn: 22], [eqn: 23], [eqn: cdots], [eqn: 40`]이다.

그러므로 최솟값과 최댓값의 합은

[eqn: 21+40=61`]

첫째항이 [eqn: 60`]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여 수열 [eqn: LEFT { T _{n} RIGHT } `]을
[eqn: T _{n} =` LEFT |` a _{1} +a _{2} +a _{3} +` CDOTS `+`a _{n} ` RIGHT | `]
이라 하자. 수열 [eqn: LEFT { T _{n} RIGHT } `]이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: T _{19} <T _{20} `]             (나) [eqn: T _{20}=T _{21} `]

[eqn: T _{n} >T _{n+1} `]을 만족시키는 [eqn: n`]의 최솟값과 최댓값의 합을 구하시오.

[4점][2013년 3월]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

2013년 3월 수리 A형 고3 모의고사 해설

1	①	2	④	3	⑤	4	③	5	③
6	②	7	④	8	⑤	9	①	10	③
11	④	12	①	13	⑤	14	⑤	15	②
16	②	17	①	18	④	19	②	20	③
21	①	22	[eqn: 7]	23	[eqn: 17]	24	[eqn: 11]	25	[eqn: 10]
26	[eqn: 125]	27	[eqn: 540]	28	[eqn: 65]	29	[eqn: 31]	30	[eqn: 61]