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2012.04.03 02:04 - WINNER 교육전략

[ 수1 이론 02탄 ] n 제곱근이 필요한 이유는?...

 

01.  n제곱근의 정의  

     

 a의 거듭제곱이란?   

즉 a를 여러번 곱한것을 의미한다. 그렇다면 a의 거듭제곱근이란 말은 이렇게 해석할 수 있다.어떤수를 여러번 곱해서 a가 된는 값을 의미한다는 뜻으로 해석이 된다.
수식으로 표현하면

우리는 이 X를 a의 거듭제곱근이라고 하는데 X 미지수로 주어지기 때문에  X에 대한 n차 방정식이라고 생각할 수 있다. 그렇기 때문에 실제 근의 갯수는 n개가 존재하게 된다. 그러나 고등학교 교과과정에서는 n제곱근중 실근만을 다루게 된다. 존재하는 실근의 갯수는 지수의 n 값이 짝수인가 홀수인가에 따라서 나누어지게 된다.

 

02.   n이 짝수 일때 실근의 갯수와 값  

     

먼저 실근의 갯수를 판단해야 하는데

두개의 함수로 만들어서 교점을 이용해서 함수의 갯수를 판단합니다.
 

 


 이때 나오는 실근을 수학적으로 표기를 할 때  

 


그리고 우리는 a<0 일때는 나오는실근은 존재를 하지 않기 때문에

이런 값은은 정의를 할 수가 없습니다.

03.    n이 홀수 일때 실근의 갯수와 값      

n이 짝수일때와 같은 방법으로 n이 홀수 일때도 그래프를 그려서 근의 갯수를 먼저 알아보겠습니다.

a의 값에 상관없이 항상 한개의 실근은 가진다는 사실을 알 수 있습니다. 
따라서 근은

조금 주목해서 보아야 할것은 n이 홀수일때 그래프가 원점대칭형 그래프가 나오기 때문에  a의 값이 음수이면 예를 들어 


 

 

04.  n 제곱근이 필요한 이유는? 

     

이 근을 앞에서 a의 n제곱근이라고 정의를 했는데요 이것이 필요하게 된 이유는 지수가 유리수 일때 지수법칙이 성립하도록 만들기 위한 이유라고 볼수 있습니다.

지수법칙을 확장하는 과정에서 정의된 값이 필요하게 되는데요 거듭제곱근을 이용하면 표현이 가능하게 됩니다.




결론적으로 지수법칙을 유리수 범위로 확장하기 위해서는 거듭제곱근이 필요했다는 이야기 입니다.

주의할점은 지수가 유리수 범위부터는 거듭제곱근의 정의와 성질을 이용하게 되기때문에 밑인 a의 조건이  a>o 를 반드시 만족해야 한다는 사실을 꼭 기억하고 계셔야 합니다.

이상 허접한 저의 생각을 글로 써보았습니당...

  1. BlogIcon 질문쟁이 2013.08.08 00:41

    밑이 양수여야 한다는 조건을 항상 만족시켜야 한다면 n이 홀수일 때 y=a(a<0)에서 나타나는 근은 나올수없는건가요?

    • Favicon of https://j1w2k3.tistory.com BlogIcon WINNER 교육전략 2013.08.08 09:17 신고

      무슨말인지...이해가 잘안되는데
      지수가 홀수 일때는 실근이 무조건 1개는 존재하게 됩니다.
      그러나 지수가 짝수 일때는 a<0이 안됨
      따라서 지수가 자연수 이면 a<0은 안된다는 말인데..

    • 폭풍저그 2013.08.08 22:37

      X^k에서 k가 유리수범위로 확장될 때 X>0이라는 것입니다.

      X^n=a에서는 n이 홀수일 때, a의 부호에 상관없이 n제곱근 a 가 X가 되구요.

  2. BlogIcon 취한다 2014.04.03 21:02

    감사합니다^^

  3. 정은진 2015.10.06 00:08

    감사합니다 행복하세요

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