[수학상 이론 39탄] 최대공약수와 최소공배수

 

01. 다항식의 최대공약수와 최소공배수를 시작하며…

 

다항식의 최대공약수와 최소공배수는 수의 최대공약수와 최소공배수와 비슷한 내용이기 비교적 쉽게 이해를 합니다. 그런데 전체적인 문제들의 구조에 대해서 이해를 못해는 틀리는 경우가 종종 있어서 이번 시간에는 이론적인 설명보다는 어떤 형태의 문제들이 만들어져서 출제되는지의 관점에서 접근해 보고자 합니다.

 

01. 최대공약수와 최소공배수를 구하는 방법

02. 최대공약수와 최소공배수의 관계

03. 최대공약수와 최소공배를를 이용한 연산

 

 

02. 최대공약수와 최소공배수를 구하는 방법

 

다항식의 최대공약수와 최소공배수는 2단계 구조로 이루어짐

 

1단계 다항식의 인수분해를 통해 인수를 찾음 ( 인수분해 능력 TEST)

2단계 최대공약수 : 먼저 공통인수를 찾고 낮은차수의 것을 쓰면 됩니다.

최소공배수 : 모든인수를 써주고 각각의 인수에서 높은차수를 써주면 됩니다.

 

예를 들어서 설명하면

 

 

 

03. 최대공약수와 최소공배수의 관계

 

01. 두 다항식을 A, B라 하고 최대공약수 G, 최소공배수 L

 

1) A=aG, B=bG (a와 b는 서로소)

2) L=abG

3)AB=LG

1,2 당연한 내용이기 때문에 3번 정도만 기억하고 있으면 됩니다.

대부분의 기본서과 교재들은 여기서 내용이 끝나는데… 시험문제는 여기서

거의 출제가 되지 않습니당ㅜㅜ

 

 

02. 다항식의 연산과 최대공약수 관계

 

두 다항식을 A, B라 하고 최대공약수 G, 최소공배수 L

A=aG, B=bG (a와 b는 서로소) 이기 떄문에

 

A + B = aG+bG=G(a+b) : G는 A+B의 약수

A – B = aG-bG= G(a-b) : G는 A-B의 약수

차와 관련된 내용이 다항식에서 자주 나오는데  다항식 A와 B의 최대공약수를 바로 찾을 수 없을 때 A-B 이용하여 G를 찾는 문제에서 주로 이용됨

 

예를들면

 

 

03. 다항식이 서로소일때 다항식의 연산  

 

자주는 나오지 않는데 아주 가끔 까다로운 문제에서 출제 가능성이 있는 문제입니다.

 

1) A와 B가 서로소이면 A와 A+B, A와 A-B는 서로소 관계

2) A와 B가 서로소이면 AB와 A+B도 서로소 관계

증명은 직접 도전해보세요… 별루 어렵지 않아요

2번 내용은 시험에 가끔씩 출제되기 떄문에 기억해두시면 유용합니당~~

 

04. 최대공약수와 최소공배수를 이용한 연산

 

A와 B의 최대공약수를 G(A,B), 최소공배수 L(A,B) 라 할 때 G와 L을 이용한

문제들이 주로 출제가 되는되는데 효과적인 대응 전략은 집합처럼 생각하면 아주 쉽게

처리할 수가 있습니다.

 

A={a, G} , B={b,G} 로 보고

G(A,B)는 A와 B의 교집합, L(A,B)는 A와 B의 합집합으로

생각하여 풀이를 하면 쉽게 문제들을 풀어갈 수 있습니다.

 

예를들면

(1) G(L(A,B), A) 의 값은?

 

L(A,B)는 A와 B합집합 이므로 {a,b,G}

G(G(L(A,B), A) 는 L(A,B)와 A의 교집합 {a, G}

따라서 G(L(A,B), A)=A가 성립하게 됩니다.

 

 

여기까지가 다항식의 최대공약수와 최소공배수에 대한 WINNER의 설명이었습니다.

 

VIEW 클릭은 필수 아시죠…. 아직도 몰라~~~

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