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792개 발견

전체 글 검색 결과

  1. 미리보기 2012.03.29

    [ 수학상 이론 02탄 ] 부분집합의 갯수 ....이렇게 구하자!!!

  2. 미리보기 2012.03.27

    [ 수학의 정석 11탄 ] 수학상 10단원 유리식을 파헤쳐서....풀어보장....

  3. 미리보기 2012.03.25

    [미적분과 통계 이론 03탄] 이항정리의 성질의 다양한 CASE 이해하기..???

  4. 미리보기 2012.03.20

    [수학상 이론 01탄] 학생들이 가장 싫어하는 인수분해 공식과 그 응용

  5. 미리보기 2012.03.19

    [ 기하와 백터 이론 01탄] 일차변환이란....그게 뭐꼬???

  6. 미리보기 2012.03.19

    [ 수1 이론 01탄] 역행렬의 개념에 대한 정확한 이해를 위해서는 문제를 보아야 한다.

  7. 미리보기 2012.03.18

    [미적분과 통계 이론 02탄] 이항정리란 이런거야 알간???모르간???

  8. 미리보기 2012.03.16

    [수학 모의고사 21탄 ] 고3 가형 3월 수학모의고사 분석해서 뿌리뽑아 보장...

2012. 3. 29. 00:34 - WINNER 교육전략

[ 수학상 이론 02탄 ] 부분집합의 갯수 ....이렇게 구하자!!!

 

 

01. 부분집합의 기본 정의 

 

 집합 A의 모든 원소가 집합 B에 속할 때, 집합 A는 집합 B의 부분집합이다

수식의로 표현을 하면 A⊂B

 

02. 부분집합 공식 

 

 A={1,2,3,4,5,6} 이면 A부분집합의 갯수는 몇개 일까요? 대부분은 쉽게 2^6개라고 답변을 합니다. 그러나 왜 이렇게 나올까요? 라고 물으면 왠지 답변이 궁색한 경우가 많이 발생하는 경우가 많은데요
왜냐하면 대부분은 원소의 갯수가 작은 경우에는 직접해보고 나면 책에  

어떤 집합의 원소의 개수가 n일 때, 그 집합의 부분집합의 개수는

 

 

03. 부분집합의 갯수 세기

 

A의 원소들을 다트라고 생각하고 우리가 생각하는 부분집합을 하나의 집합으로 생각해서 나올수 있는 경우를 생각해보면 부분집합 문제들을 쉽게 해결이 가능합니다.


 


A 집합의 원소가 1~6이라고 하면 던진 다트는 파란색 부분이 부분집합이라고 생각하면 1~6까지의 위치의 가지수 만큼 부분집합이 만들어 질수 있습니다.

1 이 갈수 있는 장소 2군데 2가 갈수 있는장소 2군데 .....6이 갈수 있는 장소도 2군데 따라서 경우의 수

                            2x2x2x2x2x2

 

04. 부분집합의 원소 포함과 배제

 

 

 1을 포함하는 경우의 수는?  

 

 

1x2x2x2x2x2=2^5 가 나오게 된다. 

1을 포함하지 않는 경우의 수는?  

 

1x2x2x2x2x2=2^5 가 나오게 된다.

 

1을 포함하고 2를 포함하지 않는 경우의 수는?

 




1x1x2x2x2x2=2^4 가 나오게 된다.  

 

05. 복잡한 부분집합의 갯수

 

U={1,2,3,4,5,6} 일때 이것의 부분집합 A,B가 존재할 때     을 만족하는 (A,B)의 순서쌍의 갯수를 구하여라

이문제는 A와B로 이루어지는 순서쌍을 구하라는 문제인데...직접 찾으려고 하면 아주 어렵습니다. 그리고 부분집합의 갯수 구하는 공식도 쓸수가 없는 상태입니다. 
그러나 벤다이어그램에서 사용했던 다트방법을 사용하면 쉽게 구할 수 있습니다.

 



각각의 숫자가 갈수 있는곳이 3군데씩 발생하게 됩니다. 따라서 이 경우 나올수 있는 (A,B) 부분집합의 순써상은

3x3x3x3x3x3=3^6 개입니다.  

 

 

각각의 숫자가 갈수 있는곳이 3군데씩 발생하게 됩니다. 따라서 이 경우 나올수 있는 (A,B) 부분집합의 순써상은

3x3x3x3x3x3=3^6 개입니다.  

다트를 던진다 (원소를 배치시킬수 있는 방법의 수) 를 이용해서 부분집합의 갯수를 구하는 방법에 대해서 설명을 해보았습니다. 부분집합을 공부하는데 조금이나마 도움이 되었으면 좋겠습니다. 파이팅^^ 

 

 

 

  1. 2013.03.19 16:38

    비밀댓글입니다

    • Favicon of https://j1w2k3.tistory.com BlogIcon WINNER 교육전략 2013.03.20 09:24 신고

      1) A,B 둘다 안가면...당연히 둘 다 공집합
      2) 전체집합은 세개의 집합으로 구성되어 있다고 생각해야함
      A,B, A도 B도 아닌 집합으로 구성되어 있다고 생각하면 쉽게 접근이
      가능합니다.
      원래는 세개의 집합으로 생각해야 하는데 주어진 조건은 두집합의
      순서쌍을 구하라고 했기 때문에 ...이해가 힘든것입니다.
      직접 나열해서 찾기는 너무 복잡해서...벤다이어그램에서 가는곳을
      따져서 경우의 수 방법으로 풀이를 한것임

  2. 중간에 2013.04.06 22:42

    1은포함하고 2는 포함하지않는 부분집합의수가 2의 4제곱이 아닌가요?
    1x1x2x2x2x2인데.

  3. 재수생 2013.04.08 13:50

    문제들 보면 집합의 개수를 구해라는데 답은 부분집합의 개수를 구해야 한다고 하네요

    그건 왜그런건가요? 그리고 어떤 경우는 집합의 원소가 공집합이 될수 없으므로

    부분집합의 개수 - 공집합 해서 2^-1 이런 식으로 나오는데 이런것도 있나요?

    • Favicon of https://j1w2k3.tistory.com BlogIcon WINNER 교육전략 2013.04.08 18:32 신고

      옙 가능한 집합을 따지는데 그 집합들이 부분집합 이라서
      결국 부분집합을 따지는 문제가 되어서 그렇습니당^^

  4. BlogIcon tAnorus7 2014.07.22 17:37

    멋지네요. 잘보고갑니다

  5. BlogIcon 조재호 2014.08.31 13:29

    다른 윗글에서도 이미 알고있는 내용이라 표정변화없이 넘기고 이글을 봤는데, 이글보는내내 이런식으로 해석이 가능하다는것을 알게되고 입이 벌어지면서 봤습니다. 놀랍네요.

  6. 차우링 2015.06.12 23:30

    순서쌍 첫번째 문제여
    그.. A B 집합이 정해질때마다 예를들어 (1,2)같은거는 중복이 되도 그니깐 여러번 나올수있는게 당연한건가요?? 집합이 새로 정해질때마다요

  7. ㅎㅎ 2016.09.15 01:42

    집합의 순서쌍이란게 무었인가요?
    문제집보면 A가 1개일때
    B가 몇개이런식으로 구하던데
    그러면 ( , )안에는 어떻게 표현하나요?

  8. ㅇㅇ 2018.10.09 23:43

    와 진짜 맨날 헷갈렸었는데 이 글 보니까 바로 이해 되네요 정말 감사합니다 다트방법 진짜 좋은 것 같아요

  9. 와우 2018.10.13 05:10

    대단하십니다 감사합니다

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2012. 3. 27. 01:11 - WINNER 교육전략

[ 수학의 정석 11탄 ] 수학상 10단원 유리식을 파헤쳐서....풀어보장....


 


01.  수학의 정석 | 유리식의 연산 이론 map      
 




02. 수학의 정석 |  유리식의 연산 문제유형        

부분분수 문제는 정석에서 별루 비중있게 다루고 있지 않지만 수학문제를 푸는데 많이 사용하게 됩니다. 그래서 정확하게 이해를 해두시고 쏀이나 개념원리 rpm 같은 문제집에서 비슷한 유형의 문제를 좀 더 많이 풀어볼 필요가 있습니다.





분수식의 변형과 같은경우 식이 조금 복잡하여 학생들이 어려워하는 경향이 있습니다. 그런데 문제 푸는 원리는 아주 간단합니다. 하나의 문자를 기준으로 다른 문자들을 다 정리를 하면 자연스럽게 문제가 풀리도록 출제가 되어 있습니다.

분수식과 곱셈공식의 변형은 분수식을 치환하여 곱셈공식을 이용하는 방법으로 문제를 푸시면 됩니다. 그리고 유사유형이 여러단원에 걸쳐서 반복해서 나오기 때문에 이 부분은 철처히 정확하게 계산하는 연습을 해 두는 것이 중요합니다. 



03.   수학의 정석 |  비례식의 연산 이론 map      





04.     수학의 정석 |   비례식의 연산 문제      


고등학교에서 새롭게 추가된 내용이기 때문에 가비의 리 이론에 대해서 확실이 이해해 두시고 철저히 연습해 두시기 바랍니다. 보통 유리식이 시험범위에 들어가게 되면 반드시 출제되는 내용이라고 보시면 됩니다.

따라서 정석문제들을 확실히 풀고나면 다른 문제집에서도 가비의 리와 관련된 문제를 추가로 더 풀어보시기 바랍니다.

정석에서 유리식 문장형 문제를 상당히 비중있게 다루고 있는데 생각보다 문제에 대해서 학생들의 이해도가 많이 떨어지는 부분입니다. 내신에서 시험에 출제되면 상당히 오답이 높은 문제입니다. 따라서 이 부분에서는 문장을 식으로 표현하는 연습에 집중하기고 계산이 일단 미루어 두시기 바랍니다.

왜냐하면 계산은 실제로 어려운 경우가 별루 없습니다. 문장을 읽고 식을 세우는 연습에 집중하십시오.여기에 나오는 문제들을 다 이해하면 왠만한 문제집에 있는 문제들은 다 풀어 낼 수가 있습니다.

 

05.  수학의 정석  |  유리식을 마무리 하면서....      


유리식 단원 정석을 공부하면 같이 체크하면서 풀수 있도록 하기 위해서 만들어둔 유리식 map 입니다.

많은 도움이 되셨으면 좋겠습니다.

 10단원 유리식 MAP  

정석 10단원 유리식 Map.pdf











  1. 느아아ㅏ 2013.06.17 00:48

    올리시는 글들 감사히 잘 보고 있습니다. 그런데 실력 정석도 정리해주실 수 있을까요?

  2. 느아아ㅏ 2013.06.17 00:57

    올리시는 글들 감사히 잘 보고 있습니다. 그런데 실력 정석도 정리해주실 수 있을까요?

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2012. 3. 25. 23:05 - WINNER 교육전략

[미적분과 통계 이론 03탄] 이항정리의 성질의 다양한 CASE 이해하기..???

 

01.   이항정리 성질 준비 단계      

 이항정리의 전개식에서 이식은 항등식이라는 사실을 이용해서 양변에 a와 b에 다양한 값을 대입하여 이항정리의 성질을 만들게 됩니다.

1단계에서는 a=1, 그리고 b=x를 대입하여 식을 변형시켜 줍니다.


이와 같은 식이 만들어지는데 이 상태에서 x의 값을 1,-1, i 등의 값을 대입하면서 관련된 이항정리 성질의 공식들을 만들어 나가게 됩니다.

02.    이항정리의 성질 기본편      

식의 특징은 이항정리의 모든 계수의 합이 2^n이 된다는 점을 알수 있습니다.


03.   앞의 이항정리 내용에서 파생되어 나온 아이들 ....01탄      

위에서 나온 중요한 두개의 식을 정리하면 ...


이 두식을 가지고 더하면  


즉 nCr 에서 r이 짝수인 값들을 합하면 2^n에 절반이 된다는 사실을 알 수 있습니다.

디시  두식을 가지고 빼게 되면

마찬가지로  nCr 에서 r이 홀수인 값들을 합하면 2^n에 절반이 된다는 사실을 알 수 있습니다. 따라서 우리는 두가지 세로운 사실을 알게 되는데요  r 홀수들만 모은 값과 r이 짝수인 값들만 모은값이 같다는 사실과 그리고 그 값은 2^n 절반이 된다는 사실입니다.



04.   앞의 이항정리 내용에서 파생되어 나온 아이들 ....02탄      

2^n에서 n이 홀수이면 우변에 나오는 항의 갯수가 짝수개가 나오게 되는데 조합에서
nCr=nCn-r은 값이 같게 나오기
때문에 결과적으로 양쪽이 쌍으로 같은 값이 나오는 형태가 만들어지게 됩니다.



결론적으로 일반화를 시켜서 말씀을 드리면 n=2m-1 나오되면 우변의 항의 갯수가 짝수개가 되기때문에 양쪽이 쌍으로 같은 값들이 나오게 됩니다.
따라서 전체항의 앞쪽의 절반과 뒤쪽의 절반은 값이 같게 됩니다. 즉 n=2m-1이라고 가정을 하면 앞쪽의 절반 = 뒤쪽의 절반 =2^(n-1) 이라고 할 수 있습니다.

그리고 실제로 양쪽끝의 짝으로 이용하는 문제가 수능이나 모의고사에서 종종 나오는 경우가 있기 때문에 조금은 이런 유형을 유심히 보아둘 필요가 있습니다. 


05.   다시 원점에서 x=i 를 대입했을때.... (수능에 나온후 유명해짐)      



이 이항정리 식에서  x=i를 대입함 그리고 n은 일반적으로 4의 배수로 주어짐
수능에 실제로 나온것으로 예를들어 설명드리겠습니다. 


수능기출문제  



대부분의 학생들이 이부분이 출제되었을때 쇼크가 컸는데 이유는?

이항정리에 기본성질과 파생된 내용정도만 알고 있었습니다.
 즉 x=1 or x=-1을 넣어서 나오는 결과만을 대부분의 확생들이 외우거나 접해서 풀어본 상태라 이런문제의 경험이 전무했습니다. 직접 x=i 들어가 있는 꼴을 전개를 시켜본 경험이 있는 학생들이 드문 상태라 문제를 풀면서 오답이 많이 나온 대표적인 이항정리 성질의 기출문제 였습니다.




여기서 좌변의 (1+i)^16을 계산을 해보면



결과적으로 허수는 없어지고 실수만 나오는 결과로 나오게 됩니다. 실수가 되려면 n이 4의 배수가 되어야 합니다.
그래서 일반적으로 x=i 들어가는 문제가 출제가 되면 100% 지수가 4의 배수로 출제가 되게 됩니다.

그리고 나서 우변을 정리를 해보면



이와같이 나오게 됩니다.
따라서 우리가 구하는 답은 256이 됩니다.


허접하게 나마 중요한 이항정리의 성질 부분을 자세히 설명을 드렸습니다.
많은 도움이 되었으면 좋겠습니다. .  
 

 

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2012. 3. 20. 22:20 - WINNER 교육전략

[수학상 이론 01탄] 학생들이 가장 싫어하는 인수분해 공식과 그 응용

 


01. 인수분해  |  잔인하게 긴 인수분해 공식 ...      

 

이공식이 싫은 이유는 너무 길다 그리고 이거말고도 외울 공식이 많다....
그런데 학교 시험에 생각보다 많이 나왔다...왜일까???

대부분의 학생들은 그 공식만 보고 외워서 문제를 풀려고 덤비는데...거의 문제가 안 풀리는 경우가 많습니다.
실제 실전에 나온 문제들은 인수분해 뒤부분의 내용을 변형시켜야 풀리는 문제로 출제가 되는데 이 뒤부분의 내용을 기억해서 적용하는 고등학생들이 생각보다 많지 않습니다. 특히 이 긴 인수분해 공식을 재대로 문제를 풀기 위해서는 변형되 식으로 다시 공식을 제구성을 해야합니다.

즉 이와같은 상태가 되어야 실전에서 학교 내신문제나 교육청문제들을 해결이 가능해집니다. 



02. 인수분해 | 문제유형을 알아보장....      

문제01 아래의 식이 성립하기 위한 조건은?   


풀이 인수분해 공식에 의해서


그러면 실제로는 어디서 풀어야 할까요??

즉 다시 정리를 하면


따라서 실수 조건을 보면

 

그래서 실제 답은 아래와 같이 됩니다. 

 

즉 우리는 공식을 외우고 있었지만 대부분의 책에 나온 내용은 문제 푸틑데 도움이 되지 않는다는 점이죠
문제를 풀기위해서는 실수조건과 연계해서 풀어야 정확한 답이 나온다는 점입니다.


03.   인수분해  | 삼각형에 적용된 문제에서 알아보장...      


세변의 길이가 a,b,c 일때


위의 조건을 만족시키는 삼각형은 무엇인가?


이와같이 됩니다. 따라서 세변이a,b,c 모두 0보다 크기 때문에 a+b+c≠0 
그래서 a=b=c 정삼각형이 됩나다.  

결론적으로 보면 우리는 실전에 나오지 않는 공식을 외우고 있었다는 점을 알수 있습니다.

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2012. 3. 19. 21:03 - WINNER 교육전략

[ 기하와 백터 이론 01탄] 일차변환이란....그게 뭐꼬???


01. 수학의 정석 | 변환이란???

일반적으로
집합 의 각 원소 에 집합 의 원소를 대응시키는 규칙이 정해질 때 이것을 에서 로의 사상, 함수 또는 변환이라고 합니다. 특히 수학에서는 점을 다른 점으로 옮기거나, 도형을 다른 도형으로 옮기거나, 식을 다른 식으로 바꾸거나, 함수를 다른 함수로 바꾸는 것을 모두 변환이라 합니다.

그 중에서도 주로 점의 이동을 다루게 됩니다.


02.  수학의 정석 |  일차변환이란 ???      
 
변환 f : (x, y) → (x', y')에서 옮겨진 점 x', y'이 상수항이 없는 x, y에 대한 일차식으로 되어있을떄를 말하는데 아래와 같은 아래와 같은 식으로 만들어진 경우를 말합니다.  

                                     
이렇게 바꾸게 되면 좋은 점은 무엇일까요???
원래 변환은 앞의 정의에서 보듯이 함수라고 볼수 있습니다. 그러나 일차변환의 경우는 이 함수를 행렬로 바꾸어 표현하는 것이 가능하기 때문에 행렬의 곱셈을 이용하여 편리하게 계산하는 것이 가능하게 됩니다.


일차변환을 행렬의 곱으로 변환된 모습입니다.

그래서 위에서 나오는 행렬 A를 일차변환 f를 나타내는 행렬 or 일차변환 f의 행렬이라고 합니다. 수식에서 함수의 일차변환이 행렬의 곱셈으로 변화는 것을 눈으로 확인이 가능합니다. 일차변환을 통해서 우리가 목적으로 삼는 것은 이동하게 되는 점의 좌표를 행렬의 곱셈을 이용해서 표현하고 그 위치를 계산해 내는데 있다는 사실을 알 수 있습니다.

03. 수학의 정석  |  일차변환의 중요한 성질 01      

서로다른 두점의 이동을 알면 일차변환의 행렬식을 찾을 수 있다는 점입니다. 
예를 들면,  f:(2,1)->(4,2) , f(1,-1)->(0,0)으로 이동을 합니다.
그려면 일차변환이라고 하면 행렬A를 이용하여 두개의 행렬 관계식을 만들수 있습니다. 각각 계산해서 A행렬을 구해도 되지만 하나로 결합해서 계산해도 결과는 같게 나오게 되어 있습니다. 따라서 2X2행렬로 아래와 같이 바꾸어줍니다.



여기서 B의 역행렬을 사용하게 되면 쉽게 일차변환 시켜주는 A행렬을 쉽게 구하는 것이 가능하게 됩니다. 


결론적으로 말씀을 드리면 서로 다른 두점의 일차변환에 의해 이동된 점을 안다면 우리는 일차변환 행렬을 찾을수 있다는 사실을 기억하고 문제풀때 적용할 수 있어야 한다는 점입니다.


04. 수학의 정석  |  일차변환의 중요한 성질 2 (선형성)      

수학적으로 선형성(linearity)이란? 교과외 용어이기는 하지만 f(x+y)=f(x)+f(y) 를 만족하는 함수중에는 일차함수 f(x)=ax 가 있습니다. 즉, 덧셈 x+y 를 덧셈 f(x)+f(y) 로 보내는 함수입니다.이 함수는 덧셈연산을 그대로 옮겨 보존하는 함수입니다 
여기서 일차변환 행렬의에서 중요한 성질이 바로 덧셈에 대해서 그래로 보존하는 선형성입니다.

-기본성질- 
 
(1) f(P±Q)=f(P)±f(Q)
(2) f(kP)=kf(P)  (k는 실수)

(1)과 (2)를 결합시켜서 쓰면
(3) f(kP±lQ)=kf(P)±lf(Q)

(3)에 나오는 내용이 수학에서 말하는 선형성입니다.
그러면 기출문제를 통해서 어떻게 되는지 이해를 해보도록 하겠습니다.


보기1은 f(P-Q)는 선형성을 가지기 때문에 f(P-Q)=f(P)-f(Q)=Q-P가 성립하게
됩니다.


보기2는 P와 Q의 중점이 R 이므로 R=(P+Q)/2 라고 쓸수 있습니다.
따라서 f(R) = f((P+Q)/2)=f(P)/2 +f(Q)/2 라고 일차변환의 성질3에 의해서 쓸수 있습니다.그래서 결과적으로 f(P)/2 + f(Q)/2 = Q/2 + P/2 =R 이 됩니다. 그래서 참

보기3은 f○f(P)=A(AP)=AQ=P,  f○f(Q)=A(AQ)=AP=Q 

 
이와같이 행렬의 선형성을 이용해서 합답형문제를 풀이를 해보았습니다.
겉으로 보면 별것 아닌것 같은 성질이지만 수능에서는 이부분을 중요하게 생각해서 출제를 할 수도 있기 때문에 꼼꼼하게 확인해 둘 필요가 있습니다. 

여기까지 일차변환과 관련된 기본적인 이론에 대해서 설명을 했습니다.


 
  1. ds 2012.08.27 10:54

    좋은 글 감사합니다. 그런데 약소한 내용추가 -> 서로 다른 두 점이란 원점을 기준으로 직선을 그었을 때 같은 직선상에 위치하지 않은 두 점을 의미.

  2. 주인장 2012.09.02 23:23

    감사감사

  3. ㅁㄴㅇ 2012.10.08 23:14

    퍼갑니다.

  4. 원조의적 2013.01.24 23:51

    감사합니다.

  5. 위클리 2013.03.07 07:24

    근데 ... 마지막에 풀어주신문제 A^2P=P면 전부좌변으로 넘겨정리하면 (A^2-E)P=O일 터인데 어떻게 A^2=E로 확신이 가능한가요??

  6. 지나가던이 2015.06.30 09:36

    역행렬이 존재하지 않을 경우는 어떻게 하나요?

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2012. 3. 19. 02:06 - WINNER 교육전략

[ 수1 이론 01탄] 역행렬의 개념에 대한 정확한 이해를 위해서는 문제를 보아야 한다.

 



01. 수학의 정석 |  AB=E 속에 들어있는 숨어있는 행렬의 의미들은???      

 대부분의 학생들은 AB=E를 보고 B는 A역행렬이고 , A는 B의 역행렬이라는 정도만 알고 끝을 냅니다. 그러나 이 AB=E라는 곳에는 생각보다 많은 내용이 들어 있습니다. 생각이 해야할 것은 어느 책이나 나오지만 쉽게 지나치게 되는 내용입니다. 
                          AB=BA=E
단원이 역행렬이라 역행렬에는 주목을 하는데 행렬이 일반적으로는 교환법칙이 성립하지 않지만 역행렬 관계가 있을때는 교환법칙이 성립합니다. 따라서 여기서는 역행렬 여부도 중요하지만 AB=BA라는 사실을 반드시 잊지 말아야 합니다. 특히 수능과 교육청 모의고사 출제자들은 이부분을 집중적으로 공략하는 경향이 많았습니다.


02. 수학의 정석 |    AB=BA를 이용한 문제들.....      



참과 거짓을 판단하는 문제인데용 A의 역행렬이 E+B라는 사실을 알수 있는데 그러면 교환법칙이 성립하게 됩니다
따라서 A(E+B) = (E+B)A 라고 쓸수 있습니다. 전개를 실시하면 A+AB=A+BA가 됩니다. 그래서 AB=BA가 성립한다는 사실을 알게 됩니다.





이문제는 상당히 많은 학생들을 틀리게 만들었던 교육청 시험문제입니다.
식은 일단 한쪽에 단위행렬만 남도록 만들줍니다. 그리고 이해를 편하게 하기 위해서 문제 풀이과정을 단계적으로 나누어서 설명을 실시했습니다. 

       

 


                
여기서 문제 풀이 과정에서의 특징은 중요한 포인트 지점이 교환법칙과 역행렬을 이용한 부분이라고 볼수 있습니다.



02. 수학의 정석 |    AB=O 에서 A와 B의 역행렬과의 관계는 ???      


여기서 역행렬과 관련된 내용을 추가해서 설명을 드리도록 하겠습니다.


AB=O이면 일반적인 경우 가능한 것은 3가지 경우가 가능한데....A=O ,B=O , AB=O 인 경우입니다. 그래서 위의 문제는 거짓이라는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 그러나 요즘에는 이렇게 쉬운 문제는 잘 출제를 하지 않습니다. 그래서 조금 더 깊게 알아 불 필요가 있습니다.

에서 특히 AB=O 인 경우에 주목해야 하는데요
AB=O 에서 A≠O and B≠O  대부분 이정도까지 책에서 언급이 되는데 여기에는 추가조건이 더 필요로 합니다.
AB=O 이기 때문에 AB 행렬은 역행렬을 가지고 있지 않습니다. 따라서 여기서 A와 B둘다 역행렬을 가지고 있으면 않됩니다. 왜냐하면 하나라도 역행렬을 가지고 있다면 AB=O의 양변에 역행렬을 곱하면 A또는 B가 O이 나오기 때문에A≠O and B≠O 라는 조건에 모순이 발생하게 됩니다.





역행렬이 존재를 하게 되면 양변에 역행렬을 곱하는 것이 가능하지기 때문에 위의 문제는 참이 가능하게 됩니다.미묘한 차이지만 잘 이해해 두셔야하는 내용입니다. 추가로 정리를 해보면 이런 내용이 됩니다.



지금까지 역행렬의 교환법칙과 역행렬 관련된 내용에 대한 연산과 연계한 설명입니다. 열심히 공부하시는 분들에게 조금이나마 도움이 되었으면 좋겠습니다....

       Think and WIN !!!


  1. 수잘프 2013.08.12 23:12

    와!!!^^감사합니다

  2. BlogIcon 포도 2013.09.16 20:34

    AB=E 이면 왜 A의 역행렬이 B 인가요

    AB=BA=E 이렇게 되야지 B가 A의 역행렬인거 아닌가요?

    • Favicon of https://j1w2k3.tistory.com BlogIcon WINNER 교육전략 2013.09.16 21:04 신고

      A를 임의로 2*2 행렬로 두고 B의 행렬을 직접곱해서 구해보세요
      그러면 B가 A의 역행렬이 된다는 사실을 알수 있습니다.
      AB=E 일때 B를 A의 역행렬이라고 하고
      그때 나오는 성질이 AB=BA가 됩니다. ...
      역행렬의 정의 AB=E 에서 B=A역행렬
      AB=BA 이부분은 일종의 성질이라고 볼수 있습니다.
      대부분의 책에서 혼합해서 써서 시험문제에서는 이부분을 자주 이용하죠..

  3. BlogIcon 조홍익 2014.10.25 10:34

    개념을이렇게정리하셔서 머리속에 잘들어오내요!!감사합니다

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2012. 3. 18. 17:47 - WINNER 교육전략

[미적분과 통계 이론 02탄] 이항정리란 이런거야 알간???모르간???

 

01.   수학의 정석 : 이항정리의 정의      

한자로 보년 이항(二項)를 보면 항이 두 개라는 뜻입니다. 따라서 이항정리는 두개의 항을 곱셈에 대하여 전개한 식이라는 의미로 해석하면 됩니다.

 

즉 a+b 의 거듭제곱의 전개식이 어떻게 나오는지에 대해서 알아보는 것이라고 생각하시면 됩니다.


02.  수학의 정석 :  이항정리의 원리      


이 전개식에서 나오는 규칙성에 대해서 알아보고 그것을 일반화 시키는 것이 이항정리의 가장 중요한 목적이라고 보시면 됩니다. 이중에서 (a+b)^3에 대해서 집중적으로 관찰을 해보겠습니다.
 


상자에서 a와 b 문자를 뽑는 방법을 가지고 설명을 해보도록 하겠습니다.


a^3 이란 세상자에서 모두다 a를 뽑았다는 것을 의미합니다. 따라서 세상자에서 b를 0개를 뽑았다는 의미로 해석할수 있습니다. 그래서 3C0 이렇게 계수를 나타낼수 있습니다. 같은 방법을 사용하면

a^2b의 계수는 3개의 상자중 한곳에서 b를 뽑는 경우라고 생각할 수 있으므로 3
C
1
ab^2의 계수는 3개의 상자중 두곳에서 b를 뽑는 경우라고 생각할 수 있으므로 3C
2
b^3의 계수는 3개의 상자중 세곳에서 b를 뽑는 경우라고 생각할 수 있으므로 3C3
 

이와같은 규칙성을 발견하게 됩니다. 그러면 이것을 바탕으로 해서 일반화를 시키게 되면


이항정리의 식이 완성되게 되고 이것을 일반항을 이용해서 시그마마로 변형시키면 궁극적으로 완성된 식이 만들어지게 됩니다.






03.  수학의 정석 : 이것을 이용해서 어떤 문제들이 나올 수 있을까...???      


시그마에서 변수 r=0 에서 부터 시작을 하는데 이것을 r=1또는 그보다 큰값으로 변경하여 출제하는 경우가 있습니다.


이항정리에서 a나 b 의 역할을 하는 부분을 1을 사용하여 식에서 생략해 버리는 경우입니다. 이 경우 대다수의 학생들이 1을 찾아내지 못해서 문제를 풀지 못하는 경우가 발생하게 됩니다.   


곱셈의 교환법칙을 이용하여 조합과 거듭제곱의 위치를 변경하는 경우입니다.

 

곱셈의 교환법칙과 1을 이용한 생략을 한꺼번에 이용하는 경우도 있습니다.  



단순히 이항정리의 식을 대부분 외우거나 건성으로 보는 경우가 많은데 자세히 살펴보게 되면 출제자들이 주어진 조건들 중에서 어떤것을 건드려서 출제하는지를 파악이 상당히 쉽게 할 수 있게 됩니다. 이항정리된 결과를 놓고 나올 수 있는 형태를 곰곰히 생각해본 결과 입니다. 아마도 정석책이나 여러기본서나 익힘책들을 보다 보면 이 원리에서 이 변형된 속임수에서 크게 벗어나지 않는다는 것을 알수 있습니다.

미흡한 내용이지만 ...나름대로 한번 정리를 해보았습니다. 

 

  1. BlogIcon 와우 2012.04.15 10:12

    정말 잘 봤습니다 ^^ 이해가 쏙쏙 되고 어떻게 응용되는지까지 알았네요~

  2. Favicon of https://j1w2k3.tistory.com BlogIcon WINNER 교육전략 2012.05.06 21:21 신고

    도움이 되었다니 감사감사!!!

  3. BlogIcon 이효준 2013.02.13 14:47

    파스칼의 삼각형에 관심이 생겼었는데, 이항정리에 관한 글을 유심히 읽어보니 뭔가(?) 신기합니다 ㅎㅎ

  4. BlogIcon 무명 2013.02.25 17:40

    무작정 외울 때는 까먹고는 했는데 이해를 하고 나니 문제 풀기 훨씬 수월한 듯 합니다. 정말 잘 보고 갑니다. ㄳㄳ

  5. ..고맙습니다 2013.03.24 00:07

    자주들를꺼에요 즐겨찾기해놨어요!
    진짜이해안가서 미칠지경이었는데 여기서 여러자료 보고가네요
    노트에 필기를해놔야겠어요..
    업데이트도 많이 해주세요ㅠㅠ

  6. 감사합니다ㅎㅎ 2015.04.15 14:12

    잘보고 가요~

  7. 감사합니다. 2018.05.13 23:22

    도움이 많이 되었습니다. 감사합니다~

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2012. 3. 16. 02:18 - WINNER 교육전략

[수학 모의고사 21탄 ] 고3 가형 3월 수학모의고사 분석해서 뿌리뽑아 보장...

 

01.  수학모의고사  |  예상 등급컷 결과 분석....상위권 +20점 상승      



역대 가장 쉬웠던 3월 수리영역 시험으로 예상이 됩니다. 작년에도 비교적 쉬웠다고 평가했는데 올해는 아예 너무나 쉽게 출제를 했네요 상위권은 1등급은 20점 상승, 2등급은 22상승 와우 대박이라고 해야하나.... 시험출제진들은 아직 수능시험이 절대평가로 착각하고 있는것이 아닌지 의심스럽네요.이렇게 쉽게 내면 결국 표준점수가 하락하여 상위권 학생들의 박터지는 전쟁이 발생할 가능성이 높은디.....


 



02.    수학모의고사  |  정답률분석 객관식 문제들은...다가져..        



정답률 난이도 분석입니다. 작년 정답률 그래프가 붉은색이고 3월 14일 모의고사 정답률이 파란색입니다. 여기서 주목해서 보아야 하는 부분은 객관식 문제가 1~21번까지 인데 거의 대부분에 문제가 작년에 1~10까지에 난이도 문제와 비슷했다는 점입니다. 이 말은 막풀어도 누구나 좋은 점수를 받을 수 있도록 출제했다는 의미로 볼수 있습니다.
이번 3월 수학 모의고사는 학생들이 제발 100점을 받아주세요...라는 출제자들의 간절한 갈망이 ...정답률에 보이네요. 출제문제들이 성의없게 출제되었다는 사실을 보여주고 있네요.
상위권 학생들은 긴장을 많이 해야할 것 같습니다. ..작년 6월 이후로 교육청 수학 모의고사의 경우 변별력이 급격히 떨어지고 있는 상황입니다. ...이러다가는 예전에 1등급 등급컷이 100점 나온적이 ...있는데 이런일이 또다시 벌어질 가능성도 존재할 수 있습니다.



03.   수학모의고사  |  단원별 정답률과 난이도 분석         


단원별로 분석 결과를 보았는데 수1과 같은경우 작년에 수열 부분에 난이도가 상당히 높게 나왔는데 올해는 수1은 전부 쉽게 출제가 되었습니다. 전체적으로는 미문에 마지막 문제를 제외하고는 다 쉽게 출제되었다고 보는 것이 옳을것 같습니다. 어느정도 열심히 3월 수학 모의고사를 대비를 했다면 3문제이상 틀리면 안되는 시험이었다는 것을 단원별 문항 정답률을 보면 알 수 있습니다.


04.   수학 모의고사  |  수학은 쉬울수록 ...조심조심!!!      

 

종합적으로 분석을 해보면 역대 수학 3월 모의고사 시험중 가장 쉽게 출제된 시험입니다. 그래서 앞으로도 계속 쉽게 나올 거라고 생각할수 있는데 역대 교육청 시험결과와 수능의 관계를 보면 교육당국이 원하는 결과와 정확하게 맞아 떨어진 경우가 거의가 없습니다. 왜냐하면 요즘과 같이 너무 쉽게 내면 교육청 시험에서 학생들이 만점자가 많이 발생하게 되고 1등급 등급컷이 지나지게 높게 나오게 됩니다.

그러면 일단 학생들 입장에서 생각하게 되면 EBS 위주로 수학 공부를 하고 난이도 높은 문제들의 경우 회피를 하게됩니다. 그런데 9월달 까지는 이 전략이 맞아 들어갈 수 있습니다.즉 9월달 모의고사까지는 학생들은 대부분이 이번 수학시험도 EBS에서 80% 이상 그대로 출제가 되고 나머지 20%도 3월, 6월, 9월과 비슷하게 출제가 되겠지 생각합니다. 

그런 반면 교육청은 고민에 빠지게 됩니다. 이런 학생들의 수학 성적이 너무 높게 나오네...이러면 만점자 1%와 1등급 약 90점대 목표를 달성하기 힘들지도 모르겠네라고 고민을 하게 됩니다. 그래서 변별력을 갖춘 문제를 증가시켜서 출제를 합니다. 
그런데 문제는 이 변별력을 주기 위한 정답률은 신도 알지를 못한다는 사실입니다. 일반적으로 전해에 수능 시험이 아주 쉽게 출제된 경우 그 과목은 학생들이 공부를 적게 하는 경향이 많습니다. 왜냐하면 모의고사 대부분이 전해에 수능시험의 결과에 맞추어 출제하는 경향이 있기 때문입니다. 

그러다 변별력 있는 문제의 양이 조금 증가시켰는데 학생들의 체감 난이도는 급격히 높아지면서 몰락한 경우가 수리영역의 경우 굉장히 많이 발생했습니다. 
그럼으로 수리영역의 경우 작년에 비해서 수능에서 갑자기 난이도가 높아질 가능성을 염두에 두시고 열심히 공부를 하시기 바랍니다.


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