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2012.05.20 22:44 - WINNER 교육전략

[수학상 이론 03탄] 인수분해 공식에 대한 관찰....제곱의 차는 합x차

 

 

 누구나 외우고 있는 공식 ...그러나 왜 나는 문제를 풀때 이용하지 못할까?

     

 


인수분해에서 중3부터 나오기 시작하여 고1또는 때에 따라서 수능때까지 나오면서 우리를 괴롭히는 대표적인 공식입니다. 그런데 이 인수분해 공식은 너무나 간단하여 외우지 못하는 사람이 거의 없습니다. 그럼에도 불구하고 실전에나오면 학생들이 많이 틀리는 이유는 무엇일까 ? 고민해 보았습니다.

 

고민을 하게된 이유는 나는 되는데 왜 학생들은 힘들게 느끼게 되는지에 대한 ....고뇌에서 시작되었습니다. 먼저 쉬운 유형부터 관찰해 보도록 하겠습니다.

 

 

 

문제를 출제한 원리를 알겠습니다.

제곱을 숨기는 대표적인 방법이 숫자를 사용하는 방법입니다.


 

제곱수를 하나의 숫자로 우리의 눈에 보이게 만드는 방법입니다. 이방법을 사용하면...초기에는 학생들이 많이 어떤공식을 써서 인수분해를 해야할지 모르는 경우가 발생하게 됩니다.

 

 지수부분을 2가 아닌 짝수나 2의 거듭제곱으로 주는 경우입니다.

 

 

이런경우 초기에 단순히 공식을 암기한 학생들이 여기서 일부 한계에 부딪치게 됩니다.

지수가 짝수이면 제곱형태로 변환이 가능하기 때문에 제곱의 차를 이용하여 인수분해를 가능하게 됩니다. 조금만 관찰을 하면 이정도까지는 해낼 수 있습니다.

그러나 여기서 인수분해한 식의 진짜 사용의미는 거꾸로 곱셈공식에서 더 유용하게 사용할 수 있습니다.

 

 

 

이문제는 합차를 제곱의 차로만들어 푸는 문제인데 자세히 보면 차가 눈에 보이지 않습니다.

1이란숫자를 이용하여 생략한 방법인데용 (2-1)이 앞에 붙어있어야 하는데 값이 1이기 때문에 생략이 가능했습니다. 따라서 대부분의 학생들이 처음 접하는 경우 많이 틀리게 되는 형태입니다. 

결과를 정리해서 보면 이런식으로 나오게 됩니다.  

 

 

 

즉 우리는 제곱의 차에 공식을 보면서 단순히 하나의 문자에 대한 제곱의 차를 인수분해를 한다고 보면 안되고

 

 

 

동그라미나 삼각형과 같은 형태의 제곱을 찾는다는 관점에서 접근을 해야 문제를 조금더 쉽게 풀수 있습니다.

그리고 곱셈공식에서 합과차를 제곱의 차로 이용하는 경우에는 1을 이용해서 생략하는 문제가 나올수 있습으로 유심히 수학문제를 관찰하셨야 합니다.

 

부족하나마 제곱의 차에 대한 인수분해에 대해서 생각해 보았습니다.

공식을 바로 외우지 마시고 이 공식으로 어떻게 문제가 만들어질 수 있을까에 대해서 고민해보는 시간을 가진다면 좀더 수학이 재미있게 학습할 수 있지 않을까....

 

     Think and grow rich 

  1. 감사합니다 2013.01.12 11:09 신고

    정말 정리를 잘해주시는 것 같아요
    도움이 많이 됬어요
    정말 감사합니다 ㅠㅠ

  2. Dalgas 2014.02.01 21:36 신고

    본문 내용과 다르지만 한가지 궁금한 점이 있어 질문드립니다.
    인수분해 결과를 통해 삼각형의 형태를 판별하는 문제에서
    최종적인 인수분해 결과가 (a-b)(b-c)(c-a)=0 의 꼴로 나타난 경우
    다음의 두가지 해설을 볼 수 있는데요.

    1) a=b인 이등변△ 또는 b=c인 이등변△ 또는 c=a인 이등변△ 이라고 답해야 한다... 라는 해설과
    2) 수학의 '또는'의 의미에 맞게 각각이 0인 경우는 물론이고 두개가 0인 경우, 세개가 모두 0인 경우도 포함해야 하므로,
    a=b인 이등변△ 또는 b=c인 이등변△ 또는 c=a인 이등변△ 이라는 답은 물론이고 a=b=c인 정삼각형까지 써야 완전한 답이 된다... 라는 해설을 보았습니다.

    해설을 보고 다음과 같은 궁금증이 생겼습니다.
    1) 어느 해설이 맞는가? 1번의 답안 속에는 이미 정삼각형인 경우도 포괄하고 있기 때문에 굳이 정삼각형인 것까지 답으로 쓰지 않아도 되는가?

    2) 2번의 해설이 맞다면 (a-b)(b-c)=0 의 꼴로 나타난 경우 'a=b인 이등변△ 또는 b=c인 이등변△'이라고 답해야 하는데, 수학의 '또는'의 의미에 맞게 해석해보면 [a=b 또는 b=c]라는 의미 속에 [a=b이고 b=c]인 경우도 포함되므로 [a=b이고 b=c이면 a=c이다]가 성립되어 'a=b=c인 정삼각형'까지도 답안에 포함시켜야 하는 상황까지도 생각해볼 수 있겠다 하는 생각이 듭니다.
    선생님의 생각은 어떠신지요?

    • Favicon of http://j1w2k3.tistory.com BlogIcon WINNER 교육전략 2014.02.02 23:12 신고

      1)에 정삼각형 조건이 포함된기 떄문에 언급하지 않아도 됩니다
      보통 문제는 유명한 선생님이 만들지만 답지는 대학생 알바들을 이용하여 문제를 만드는 경우가 많습니다. 그래서 2가지 경우의 답이 나온것 같은데 둘다 맞긴하지만 1) 표현이 좀더 낮다는 생각이 드네요
      구태여 또는 관계에서는 정삼각형까지는 언급하지 않아도 된다고 생각합니다

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