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2012.10.23 19:40 - WINNER 교육전략

[수학상 이론 09탄]코시-슈바르츠 부등식 증명과 최대최소

  

 

01.   코시-슈바르츠 Cauchy-Schwarz 부등식

     

 

a,b,c,x,y,z 실수일 때 부등식 

 

 

을 코시-슈바르츠의 부등식이라고 합니다.

02.  코시-슈바르츠 부등식의 증명      







03.   어떤 문제에서 코시 슈바르츠 부등식을 사용하게 될까?      

 

a,b,c,x,y,z 실수일 때 부등식




a,b,c 가 숫자로 주어져 숨겨진 채로 x,y,z로 이루어진 일차식의 최대, 최소를 구하는 문제로 주로 많이 출제가 되는데 a,b,c의 값을 스스로 정해주어야 하기 때문에 어렵게 느끼는 경우가 많이 있습니다.

 

예를 들면

 

직육면체에서 가로 x,세로 y, 높이z 라 하면 직육면체의 대각선의 길이가 3일때 

x+y+z의 최대값은 얼마인가? 

  

대각선의 길이는

 

 

그런데 a,b,c와 관련된 수가 주어져 있지 않다.

ax+by+cz=1x+1y+1z 라 생각하면 a,b,c를 모두 1로 두는 것이 가능하다. 

그러면 이제 코시-슈바르츠 공식을 만들 수가 있다 . 


 

04.  코시-슈바르츠 부등식을 마무리 하면...

     


코시-슈바르츠 부등식은 문제가 자주는 나오지는 않지만 부등식 문제에서 처음 문제를 접할때 당항하게 만드는 경우가 종종 있습니다.특히 문자 6개로 이루어진 부등식의 경우 증명과 어떻게 최대최소 문제와 연계하여 출제하는지에 대해서 잘 알아둘 필요가 있습니다.

여기까지가 허접한....WINNER의 설명이었습니다.  

  1. 수학귀신 2013.02.28 14:36 신고

    잘봤습니다~^^

  2. Misterioso 2013.04.06 23:39 신고

    2번 증명에 t는 왜들어간건가요? 궁금하네요 ㅠㅠ

    • Favicon of http://j1w2k3.tistory.com BlogIcon WINNER 교육전략 2013.04.07 08:56 신고

      증명방법이 여러가지가 있는데
      처음은 코쉬증명은 가장 일반적인 방법으로 한거고
      두번째 증명은 절대부등식을 이용해서 판별식과 연계해서 증명한것입니다. t에 대한 이차부등식을 이용해서 증명을 한것임
      초기에 바로 생각하기에는 조금 힘든 증명입니당^^
      처음 증명처럼 차를 이용해서도 증명이 가능합니다.
      여러가지면에서 생각하도록 하기 위해서 서로 다른 방법으로 증명을
      한 것입니다.

  3. Misterioso 2013.04.07 12:28 신고

    부등식의 증명은 우선 모든실수 t에대하여
    (at-x)² + (bt-y)² + (ct-z)² ≥ 0 < 이부분이 이해가안되요.
    아래 t 관련해서 2차식으로 정리한뒤에 판별식이용해서 증명한부분은 이해가되는데
    (a²+b²+c²)(x²+y²+z²)≥(ax+by+cz²) 에서 (at-x)² ~ 로 넘어가는 부분에 t는 어떻게 들어간건가요?

    • Favicon of http://j1w2k3.tistory.com BlogIcon WINNER 교육전략 2013.04.08 00:13 신고

      (at-x)^2 >= 0 => 실수^2 >=0 때문임
      따라서 같은 형태가 3개가 있으므로 전체 >=0 성립됨
      a,b,c x,y,z는 모두 상수로 생각하고 t에 관한 부등식으로 생각함

  4. BlogIcon 010 2013.06.02 22:07 신고

    감사합니다. ! 이제 자주 이用해야겠습니다~. 보시는 오늘도 행복하세요.~ 빙긋 ,

  5. BlogIcon derelict 2013.06.18 20:42 신고

    안녕하세요 질문드릴께 있는데 코시-슈바르츠 부등식 증명에서 이차계수가 0이 아닌경우
    이차계수>0,판별식<=0이 성립된다는데 왜 그렇죠??

  6. 류랑 2013.07.20 23:29 신고

    개념정리가 필요해서 둘러보다가 알게됐는데 좋은 설명 감사합니다 ^-^ 많이 도움이됐어요

  7. 류랑 2013.07.20 23:29 신고

    개념정리가 필요해서 둘러보다가 알게됐는데 좋은 설명 감사합니다 ^-^ 많이 도움이됐어요

  8. Favicon of http://blog.naver.com/y007com BlogIcon 세아슈 2013.07.30 09:51 신고

    좋은 글 잘 보고 갑니다~ㅎㅎ

  9. BlogIcon 세상엿보기 2013.11.27 16:41 신고

    좋은 글 정말 감사합니다.^^

  10. BlogIcon 질문이요 2013.12.25 11:40 신고

    등호 x/a = y/b 성립
    등호 x/a = y/b = z/c 성립

    이게 무슨뜻이죠? ㅜㅠㅠ 설명좀 해주세요

  11. BlogIcon 2014.08.28 21:31 신고

    안녕하세요 질문이 있는데요
    3차 코시 슈바르츠 부등식이 있다고 하던데
    혹시 공식 써주실 수 있으신가요?

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