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2014.05.08 00:41 - WINNER 교육전략

[수2 이론 37탄] 테일러급수

 

 

01. 테일러 급수를 시작하며…

 

 

02. 멱급수와 테일러 급수

 

 

 

 

03. 테일러 급수로 함수표현

 

 

 

 

 

 

 

 

 

04. 테일러급수 사용용도

  

 

 

 

 

  1. ㅇㅇ 2015.02.25 04:23 신고

    smooth function이라고 analytic function은 아닙니다.(실수에서) 실제로 f(x) : 0 (|x| ≥ 1) , exp{- 1/ (1 - x^2)} (|x| < 1)로 잡고 시험삼아 x = 1 에서 Taylor series를 보면 0+0+0+... = 0 ≠ f(x)가 나오죠. f(x)는 smooth하지만 non-analytic이므로 반례가 됩니다.

    그리고 power series의 representation인 것처럼 taylor series를 설명하셨는데 taylor series는 tangent line의 확장이죠. tangent line at a 라는 것은 f(a) = L(a), f'(a) = L'(a)인 일차함수 L(x)를 말하고 이는 다시말해 (a , f(a)) 에서 최대한 원래 함수 f(x)와 가깝게 근사(a에서 함수값과 기울기가 같은)한 일차함수(직선을 이용하여 곡선을 표현하려는 시도), 즉 linear approximation을 의미합니다. 그런데 위의 정의에서는 일차함수이므로 a에서 first derivative까지만 같게 하는 것까지밖에 할 수 없지만 일차가 아닌 이차, 삼차... 로 가면 만약 원래 함수가 n-th derivative까지 갖는다면 n-th derivative까지 근사가 가능할테니 원래 함수가 몇번째 도함수까지 갖느냐에 따라 얼마나 근사시킬 수 있는지가 결정될 것이고 만약 smooth function이라 무한번 미분 가능하여 모든 차수의 도함수를 갖는다면 다항식의 차수를 무한히 함으로써 근사 함수가 원래 함수가 될 수 있을거라 기대가능하죠. 이게 taylor series입니다. 이런 배경에서 먼저 나왔고 그 다음에 이러한 condition으로부터 coefficient가 어찌될 지 알아보니 자연스럽게 그런모양으로 밝혀진 것이죠. 그런데 결국 이 taylor series가 언제나 원래 함수가 되느냐를 보면 당장 1/x 만 봐도 positive에서 전개한 것과 negative에서 전개한 것이 서로 다르고(반쪽짜리), 원래 함수와도 다릅니다. 또 제가 위에서 제시했던 반례에 의해 smooth function이라고 analytic function이 아니라는 것도 알 수 있죠. 그러나 이와 대조적으로, 매우 강한 condition이긴 하나 복소수에서는 holomorphic이면 analytic입니다.

  2. ㅇㅇ 2015.02.25 04:32 신고

    그런데 다 써두고보니 고등학생 대상 입시대비 포스팅에 와서 뭐 한 건지 모르겠네요. 뭔가 얼떨결에 와서 보고 열불나게 댓글 작성했는데 말이죠.

    뭐 어쨌든 이 포스팅에 있는 함수들은 죄다 analytic이니 그 점은 신경 안쓰셔도 됩니다.

  3. 질문이요.. 2017.01.28 00:18 신고

    다른건 아니고
    e 무리수 증명에서 시그마 n=t+1에서 무한대까지 t!/n!이 자연수 인 걸 증명하면 증명이 완료되는데
    급수를 전개한뒤에 그 전개한 식이 1/(t+1)+1/(t+1)^2.... 이런 것보다 작다고 되있고 그다음에 =1/t라고 되어있는데 이 등호가 맞는지 의문이네요... 부등호가 들어가야 된다고 생각해서요

    • Favicon of http://j1w2k3.tistory.com BlogIcon WINNER 교육전략 2017.01.28 10:21 신고

      1/t가 나온이유는 무한 등비급수 공식을 사용해서 앞의 결과를 정리한 것입니다. 좀더 풀이부분을 보강해서 쓰야허는데 생략해서 곧바로 이해하기가 좀 어렵게 되어있네용~~
      가까운 시일내에 조금 수정하도록 허겠습니당^^

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