01. 항등원과 역원을 시작하며…
항등원과 역원에서 책에 나와있는 정의는 비교적 쉬운데 비해서 잘 적용하기가 힘든것이 특징입니다.
항등원을 구해라 ,역원을 구해라 하면 무엇을 해야할지...
항등원이 존재하기 위한 조건은...역원이 존재할려면...이런 말들이 나오면 초기에는 겁부터 나게 됩니다.
그래서 여기서는 정의에 대해서 꼼꼼하게 파악을 해 보도록 하겠습니다.
02. 항등원의 정의와 의미 분석
연산*에 대한 항등원e :
집합A가 연산*에 대해서 닫혀있을때 A의 임의의 원소 a에 대하여 a*e=e*a=a되는 원소 e (집합A의 원소) 연산 *에 대한 항등원
1. 연산*에 대해서 닫혀있다.
A집합의 임의의 두 원소로 *연산의 결과가 A집합의 원소가 될떄를 의미합
자세한 내용은 '닫혀있다' 의미 참조
2. a*e=e*a 의미
a*e=e*a 잘못 생각하면 항등원이 존재하기 위해서는 * 대한 교환법칙이 받드시 먼저 성립해야 한다는 의미로 생각할 수 있는데 ...여기서의 의미는 항등원 e존재하는 부분에서만 교환법칙이 성립하면 된다는 의미입니다.
3. a*e=e*a=a 에서 e 찾기
A집합에 임의의 a와 대해서 원소(e) 와 연산 결과가 a (즉 원래원소) 를 나오게 만드는 원소(e)를 항등원이이라 약속함
4. 항등원 e는 해당 집합의 원소여야 한다.
예를들어 실수에서는 덧셈의 항등원을 구하면 a+e=a 를 만족하는 e=0이 나온다.
따라서 실수에서 덧셈의 항등원은 0이 된다.
그러나 자연수에서는 덧셈에 항등원은 e=0 이 될수없다
왜냐하면 0은 자연수 집합에 들어가지 않기 때문이다. 그래서 자연수는 덧셈에 대한 항등원이 존재하지 않는다.
03. 역원의 정의
연산 *에 대한 a의 역원 x :
항등원(e)가 존재 할 때 A의 어떤 원소 a에 대하여 a*x=x*a=e 일때 원소 x(A집합의 원소) 를 연산 *에 대한 a의 역원 이라고 한다.
역원이 존재할려면 전제조건은 항등원의 존재여부를 먼저 파악해야 합니다.
그리고 항등원의 경우는 연산에 대해서 만족하는 값이 단 한개 존재했으나 역원의 경우 a값에 따라 다르게 나오게 됩니다.
예를 들면 실수에서 +에 대한 항등원은 0 으로 단 하나 존재 했습니다.
그러나 +에 대한 a대한 역원은? a+x=x+a=0 이므로 x=-a가 나오게 됩니다.
따라서 a에 들어가는 값에 따라 역원 -a는 변하게 됩니다.
04. 사칙연산에 항등원과 역원
실수에서 덧셈에 대한 항등원과 역원 ?
덧셈에 대한 항등원 e라 두면
a+e=a+e=a 이므로 e=0
덧셈에 대한 a의 역원 x라 두면
a+x=x+a=e 따라서 a+x=x+a=0 이므로 x=-a
실수에서 덧셈에 대한 항등원 0 이고 덧셈에 대한 a의 역원은 -a가 된다.
실수에서 뺄셈에 대한 항등원과 역원?
뻴셈에 대한 항등원 e라 두면
a-e=a 가 나올수 있는 e=0이 하나가 존재하게 되는데
그래서 e=0이라 두면
e-a=-a 가 나오게 됩니다.
a-e=e-a의 교환법칙이 모든실수 a값에 상관없이 성립해야 하는데
이 조건에 모순이 발생하게 됩니다.
다시 정리하면
a-e≠e-a는 교환법칙이 성립하지 않음
e는 존재할 수가 없음
e가 존재하지 않음으로 당연히 역원도 존재할 수 없음
실수에서 곱셈에 대한 항등원과 역원?
곱셈에 대한 항등원 e라 두면
a*e=a*e=a 이므로 e=1
곱셈에 대한 a의 역원 x라 두면
a*x=x*a=e 따라서 a*x=x*a=1 이므로 x=1/a
실수에서 곱셈에 대한 항등원 1 이고 곱셈에 대한 a의 역원은 1/a가 된다.
실수에서 나눗셈에 대한 항등원과 역원?
나누셈에 대한 항등원 e라 두면
a÷e=a 가 가능한 값은 1 이 존재하는데
e÷a=1/a
a/e≠e/a는 교환법칙이 성립하지 않음
e는 존재할 수가 없음
e가 존재하지 않음으로 당연히 역원도 존재할 수 없음
05. 마무리 하며...
01. 항등원의 정확한 정의
02. 역원의 정확한 정의
03. 사칙연산에서 항등원과 역원
위의 내용들에 대해서 자세히 알아보았습니다.
