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2012.10.08 19:35 - WINNER 교육전략

[수학상 이론 08탄] 산술기하 평균을 이용한 최소구하기

 

 


01.핵심을 향하여....



 

고1 절대부등식 영역에서 처음 나오게 되어 수능까지 연결되어 자주 나오는 산술 기하평균의 최소에 대해서 알아보고자 하오 ....

 

이 보통 산술평균과 기하평균이 무엇인기 조차 말하지 않고 ....그냥 달랑 절대부등식 1개를 주고 이 둘 사이에는 항상 이런 관계가 성립한다. 이렇게 성의없게 설명되어 있는 문제집이 많아서....학생들은 그냥 외워는 두는데... 어디서 쓰게 되는지 왜 이때 산술기하는 쓰는지도 ....모른체....지나가는 학생들을 위하여....(너무 거창한듯 ^^)

 

허접한 저가 조금 자세히 알아보기로 하겠소....

 

 


02. 산술기하 평균의 뜻



산술평균 : n개의 수의 합을 그 갯수로 나눈 값

 

예를 들면

 


 

기하평균 : n개의 양수의 곱의 n제곱근 (고2 수1 내용)

 

 

기하평균에서는 양의 제곱근만 다루기 때문에 양의 제곱근과 제곱근은 같은 의미로 생각하면 됩니다.

 

그러면 정의를 이용해서 a,b 기하평균을 표현하면

 

 

 

더 자세한 내용을 알고 싶은 분은 아래 글을 참고하세요 
 n 제곱근이 필요한 이유는?.<---클릭

 

 


03. 산술평균과 기하평균의 대소관계 



두개의 양수 사이에 산술기하평균

 

증명은 거의 모든 참고서와 문제집에서 나오기 때문에 여기서는 생략하겠소

(욕허지 마시고 책참조)

그 대신 이 부분에 최대최소를 풀기 위해서 숨겨진 내용들에 대해서 집중적으로 공략해 보도록 허갰소

 

 

 

 

 


04. 산술기하 평균을 이용해서 최소값 구하기



최소값을 구하기

 

a>0, b>0 이고 ab=k(일정한값)  a+b의 최소값을 구하라?

 

사고과정을 분석하면   

 

 

 

 



여기까지 되면 산술기하를 본격적으로 사용해서 풀이를 실시한다.

 

 

 

이 풀이과정을 보면 알수 있듯이 산술기하 평균을 이용해서 최소값을 구할려면 그것을 사용하기 위한 조건을 필수적으로 찾아야 한다는 사실을 알수 있죠

 

1. 두수가 모두 양수로 주어져야한다.

2. 두 수의 곱이 일정한 값으로 주어져야 한다.

3. 두 수의 합의 최소값을 찾는 문제여야 한다.

 

위의 세가지를 빠르게 찾아내면 산술기하를 이용해서 쉽게 문제를 이론적으로는 쉽게 풀수 있겠죠...

 

그런데 문제는 이와같은 내용들을 보이지 않게 속이는 경우가 많죠...

 

 

 

이 문제와 비슷한 유형들이 수능과 교육청에서 많이 나왔는데요

산술기하를 이용한 최소문제로 보는 순간 느껴집니까?

만약 느켜진다면 그 학생은 수학에 아주 재능이 있는 학생입니다.

 

앞에서 말한 조건 1,2가 전혀 눈에 들어오지 않네요....

 

 

 

 

산술기하에서 최소값 구하는 문제에서는 초기조건과 두수의 곱이 생략되어 문제 자체에 포함되는 경우가 많이 나옵니다. 이부분을 빠르게 찾아내면 산술기하 평균을 이용한 최소값 문제는 아주 쉽게 해결할 수 있게 되겠죠.

 

.

 



여기까지가 허접한...저의 산술기하 평균에 대한 생각이었습니당.....

 

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  2. 독자 2013.02.03 15:07 신고

    감사합니다 ^^ 잘 알고가요

  3. 덱셀 2013.02.27 20:59 신고

    굿

  4. 죤나 감사 2013.04.03 23:40 신고

    진심 죤나 감사합니다.

  5. 죤나 감사 2013.04.03 23:40 신고

    진심 죤나 감사합니다.

  6. 우와쩐다 2013.04.12 19:35 신고

    참고서보다도 자세하게 쓰셨네요.
    덕분에 애매하고 부족한 개념들 다 채우고 가네요.
    블로그 자주 들를게요^^

  7. BlogIcon 담청 2013.05.23 20:07 신고

    아... 신으로 받들겠습니다. 이거 감사메일을 어떻게 보내는지 모르겠네요.
    각 수1부터 기백까지 프린터해서 들고 있습니다. 사랑합니다. 왠만한 개념학습서보단 님 홈페이지의 내용을 프린터해서 가지고 있는게 더 도움이 되네요, 사랑합니다. =ㅅ=//

  8. ㄱㅅㄱㅅ 2013.05.30 18:04 신고

    완전 제대로 이해햇슴니다; 감사합니다 ㅜㅜㅜ

  9. DDD 2013.08.06 15:43 신고

    님 쩌는듯...

  10. BlogIcon 재수or반수준비중 2013.11.14 11:30 신고

    아예 모르는것이 없도록하자! 라는마음으로 처음부터 다시 공부합니다 역시 다시보니 수월합니다만 이런저런 몰랐던것을 다시 챙겨가게되네요 저의꿈은 멋진 수학강사가되는것입니다. 그렇기에 이 블로그? 를보니 블로그주인장님이 정말 대단하다는것을느꼇네요 아무튼 이블로그에 쓰인것들중 필요한것들을 다 손으로 옮겨 필기하고있는데 정말 도움이많이되네요 감사합니다^^

  11. BlogIcon 중3파워 2014.01.02 15:07 신고

    중학교 3학년인데도 이렇게 잘 이해가 되네용 ^^ ㅋㅋ
    넘 감사드리고요 앞으로도 많은
    수학 이야기들도 부탁해용~! 고등학교 내신이 벌써 향상된 기분 ㅋㅋ

  12. mimi045 2014.01.19 22:08 신고

    선생님 제가 지금 산술 기하 평균을 이용한 최대 초소 문제를 풀고있는데요 산술 기하 평균을 이용해서 선생님이 맨마지막에 내 주신 문제를 풀시에 최대값은 무조건 없다인가요?

    • Favicon of http://j1w2k3.tistory.com BlogIcon WINNER 교육전략 2014.01.19 23:53 신고

      계속값이 커지기 때문에 최대값은 존재하지 않습니다
      이를 무한대라고 합니다.고2 과정에 가면 배우게 됩니다.

  13. 저기 2014.01.21 19:16 신고

    저는 삼각함수랑 순열 수열 이런건좋아했는데 도대체 이차함수는왜이렇게헷갈리고 싫은걸까요 ㅜㅜ

    • Favicon of http://j1w2k3.tistory.com BlogIcon WINNER 교육전략 2014.01.22 16:54 신고

      이차함수는 여러단원에 광범위 하게 나오기 때문에 확실히
      해 두어야 합니다. 너무 약하면 중3꺼 부터 고1꺼까지 연계해서
      한번에 보세요...
      방학때 복습해두지 않으면 미분이나 적분가서 또 고생하게 되어있습니다. 수학은 단계적으로 학습하도록 되어있어서 앞단계가 무너지면 다음 단계로 갈떄 고생을 많이 합니다.
      파이팅!!!

  14. BlogIcon 교육전략 2014.04.03 09:00 신고

    감사합니다

  15. BlogIcon 수학 2014.06.04 17:48 신고

    왜 a,b가 양수일때만 쓸 수 있는거에요?

    • Favicon of http://j1w2k3.tistory.com BlogIcon WINNER 교육전략 2014.06.06 10:28 신고

      초기 조건이기 때문에 당연이 양수 여야 합니다.
      직접 다른조건의 경우 어떻게 되는지 확인해보세요~~

      초기 조건이 다를때 어떻게 되는지 확인하는 것은 좋은 습관입니다.
      대신 대부분의 책에서 나오지 않기 때문에 인터넷이나 꼼꼼한게 적힌
      기본서로 확인해야합니다.
      (슘마, 수학거미 정도가 꼼꼼하기는 한데... 이부분에 대한 언급은
      없었든 것 같습니다.ㅜㅜ)

  16. 2015.01.08 00:25

    비밀댓글입니다

  17. Favicon of http://j1w2k3.tistory.com BlogIcon WINNER 교육전략 2015.01.08 01:30 신고

    정확히 알려면 고1 2학기 지수단원을 공부하셔야합니다 지수 찾아보시면 이해할수 있습니다

    예전 교과과정에서는 지수부등식 단원에서 산술기하가 많이 출제되었습니다 현재는 고2 미적분 2에 나옵니다

  18. BlogIcon 2015.01.29 21:32 신고

    ab=k가일정한값이라고나와잇는데일정한값이라는게무조건1이나온다라는걸의미하신건가용?

    • Favicon of http://j1w2k3.tistory.com BlogIcon WINNER 교육전략 2015.01.30 18:54 신고

      1이 아니고 상수만 나오면 됩니다.
      예를 들면
      x * (2/x)= 2 가 되죠
      즉 x>0 이고 x+(2/x) 의 최소값을 구하는 문제도 나올 수 있다는 의미죠

  19. 수험생 2015.03.20 18:20 신고

    올해 고3 인데 모의고사에서 이것을 활용한적이 고1때밖에없는데 계속 나올까요? 이 내용을 프린트해가고 싶은데 어떻게 할 수 없는지요?

    • Favicon of http://j1w2k3.tistory.com BlogIcon WINNER 교육전략 2015.03.21 00:19 신고

      프린트용으로 만든 것이 아니라서...직접쓰셔야 할듯하네요...
      이과면 시험 출제 가능성은 조금 낮다고 보시면 되고
      문과면 수1쪽에서 연계하여 출제가능성이 존재합니다.
      열심히 공부하셨어 좋은 성적 받으세요^^

  20. 햇갈렸었는데 2015.06.09 00:10 신고

    햇갈렸었는데 잘정리됐네요. 감사합니다~

  21. 2018.11.01 01:21 신고

    느켜진다면->느껴진다면

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