[수2 이론 05탄] 효과적인 역함수의 미분법 [QR]

 

01. 역함수의 미분법 시작하면

 

역함수의 미분법은 대부분의 문제집에서 나오는데 여기서 다시 언급하는 이유는 생각보다 역함수 미분계수를 구하는데서 혼란을 겪는 경우가 많아서 좀 더 나은 방법에 대해서 소개하기 위해서 입니다.

실제 계산을 해보면 종종 이 값이 x값인지 y값인지 구분이 되지 않는 경우가 발생하게 됩니다.

그래서 실수를 줄이고 정확하게 풀수 있는 방법에 대해서 설명하기 위해서 역함수의 미분법에 대한 주제로 다루고자 합니다.

처음은 대부분의 교재에서 나오는 역함수의 미분법을 소개하고 이 방법이 가지고 있는 단점에 대해서 말하고 그 대안적인 방법으로 합성함수를 이용한 역함수 미분법에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

 

 

 

02.  일반적인 역함수의 미분법

 
함수 y=f(x)가 미분가능하고 역함수가 존재한다면

 

 

 

의미를 생각해 보면 원래함수 y=f(x)의 도함수의 역이라는 사실을 알수 있다.

따라서 역함수를 직접구하지 않고 원래함수 y=f(x)의 도함수를 찾아서 역함수의 미분결과를 찾는 것이 우리의 목적이다.  

예를들면

 

역함수의 미분이므로 원래 함수를 그래로 이용한다면 우리가 구해야 할 결과는?

 

 

 

 

 

 

 

변형하면 이렇게 된다.

 

 

 

 

 

그런데 이 방법은 도함수를 구할때는 유용하지만 미분계수를 구할때는 상당히 불편하다.

 

예를 들어

 

 

앞의 방법대로 풀면

 

 

 

 

이 답은 잘못된 답이 된다. 왜냐하면 g'(x)에서 x는 원래함수에서는 y값에 해당하고 역함수에서 x^2은 원래함수에서의 x값이다. 따라서 g'(8) 은 f(x)=8 이란 의미이고 따라서 만족하는 x=2가 되어야 한다.

 

 

 

원래함수 y=f(x) 의 x와 역함수 y=g(x)의 x가 도함수에서 같이 나오기 때문에 이런 현상이 발생하게 된다.

그래서 이 방법이 옳지만 미분계수를 찾을때 학생들이 실수를 하기가 쉽게 된다.

 

 

03.    함성함수를 이용한 역함수 미분법

 

위의 역함수 미분법 보다는 합성함수를 이용한 미분법이 좀 더 정확하게 문제를 푸는데 효과적입니다.

y=f(x)의 역함수를 y=g(x) 라고 하면 역함수의 성질에 의해서

 

 

 

 

그러면 다시 위의 문제를 보면   

 

 

 

 

04.   역함수의 미분법 정리

1. y=f(x)의 도함수를 이용하여 역함수의 미분하기

역함수를 구해서 미분하지 않고 빠르게 도함수를 찾을 수 있음 그러나 미분계수 계산시 문자에 혼란에 빠져 실수할 가능성이 증가함

 

2. y=f(x)와 역함수를 y=g(x)라 할때 합성함수를 이용해서 역함수의 미분하기

미분계수를 구할때 1번 방법보다 효과적으로 문제를 풀수 있어서 2번 방법으로 역함수 미분은 연습을 하시기 바랍니다.    

여기까지 Winner의 설명이었습니다.

 

 

04.   도전문제....