[미적분학 01탄] 실수의 완비성

 

01.실수계의 완비 공리를 시작하며...

극한이나 급수의 수렴부분과 수학의 중요한 정리를 할 때 끊임없이 나오는 실수계의 완비성에 대한 부분인데...저도 많이 부족하지만 나름대로 정리를 해보았습니다.

고등학교 교과과정은 아니지만 무한급수나 미적분 부분을 좀더 깊게 알고자 할때는 필수적이라 생각하여 한번 정리를 해보았습니다.   

02.실수계의 완비 공리

실수계의 완비성 이란?

 

 가 공집합이 아니고 위로 유계이면, X는 상한을 가진다. 

처음보면 이게 무슨 말인지???? 이해할 수가 없습니다. 이 부분을 설명하기 위해서는 용어에 대한 정확한 정의를 알아야 합니다. 정의를 파악하고 나서 다시 한번 의미를 해석해 보도록 하겠습니다. 

03.용어의 정의

정의01 상계와 하계의 정의 

  라 할 때

 

① 모든  에 대하여  이면  를  X의 상계(upper bound)라고 한다.

 

upper bound는 간단히 생각하면 더 이상 올라갈 수 없는 한계를 의미한다.

 

이를 좀더 확장하면

 

가 집합 X의 상계이고   이면 b 도 X의 상계가 된다.

예를 들면  이면 2는 X의 상계이고, 3,4,5,, ... 는 모두 X의 상계가 된다.  

 

 

② 모든   에 대하여  이면 를 X의 하계(lower bound)라고 한다.

 

lower bound는 간단히 생각하면 더 이상 내려갈 수 없는 한계를 의미한다.

이를 좀더 확장하면

가 집합 X의 하계이고 이면 b도 X의 하계가 된다.

예를 들면  이면 2는 X의 하계이고, 1,0,-1... 는 모두 X의 하계가 된다.

정의02 위로유계, 아래로 유계

① X가 상계를 가지고 있으면, X는 위로 유계 (bounded above) 인 집합이라 한다.

② X가 하계를 가지고 있으면, X는 아래로 유계 (bounded below)인 집합이라 한다.

 

③ 위로 유계와 아래로 유계인 집합 : 유계집합

정의03 상한과 하한 

① 는 X의 상계일 때  

 

를 X의 상한 (supermum) 또는 최소상계 (least upper bound)

수식으로 표현하면

 

  일때 

 

 

② 는 X의 하계일 때   

 를 X의 하한 (infimum) 또는 최대하계 (least lower bound)

수식으로 표현하면

 

 일 때

정의04 상한과 하한의 유일성

 

 일 때  a,b∈X 가 X의 상한이면, a=b 이다.

증명은 

 

a가 상한, b가 상계 이면   

 

b가 상한, a가 상계 이면 

 

따라서 a=b 가 성립한다.

정리04에서  상한은 유일한다는 의미를 지니고 같은 방법으로 하한 역시 유일하게 된다.

 가 상한을 가질 때 그 상한을 sup X

 

 가 하한을 가질 때 그 하한을 inf X 

이때 당연히 inf X ≤ sup X 의 관계가 성립한다.

예를 들면

① X={1,2,3,4,5} 유계집합이고 sup X=5, inf X=1

 

② X={ x∈R | 1＜x ≤ 5 }  유계집합이고 sup X=5, inf X=1

 

③  X={ x∈R | 1≤ x < 5 }  유계집합이고 sup X=5, inf X=1

④  X={ x∈R | 2< x }  아래로 유계이고 위로 유계 아님  ▶  sup X=존재하지 않음, inf X=2

 

⑤ X={ x∈R | x< 2 }  위로 유계이고 아래로 유계 아님  ▶  sup X=2, inf X=존재하지 않음

추가 내용

은 유계집합이다. 그러나 상한과 하한이 존재하지 않는다.

04. 실수계의 완비성의 해석 

실수의 완비성 이란???

X⊂R 가 공집합이 아니고 위로 유계이면, X는 상한을 가진다.  

위의 그림에서 점 A는 점 A의 왼쪽 점에 대응된 실수 집합의 상한이 된다.

A점은 집합 X의 상한 역할을 하고 이 상한이 유일하게 존재한다.

실수의 완비성이란 실수계에 있는 모든 수에 대해서 일대일 대응관계를 가지게 된다.

따라서 실수에서는 빈틈없이 모든 수직선상에 실수가 존재한다는 의미를 지니게 된다.

 

여기까지가 실수의 완비성에 대한 Winner의 설명입니다.