[미적분과 통계 이론 02탄] 이항정리란 이런거야 알간???모르간???

 

01.   수학의 정석 : 이항정리의 정의

한자로 보년 이항(二項)를 보면 항이 두 개라는 뜻입니다. 따라서 이항정리는 두개의 항을 곱셈에 대하여 전개한 식이라는 의미로 해석하면 됩니다.

 

즉 a+b 의 거듭제곱의 전개식이 어떻게 나오는지에 대해서 알아보는 것이라고 생각하시면 됩니다.

02.  수학의 정석 :  이항정리의 원리

이 전개식에서 나오는 규칙성에 대해서 알아보고 그것을 일반화 시키는 것이 이항정리의 가장 중요한 목적이라고 보시면 됩니다. 이중에서 (a+b)^3에 대해서 집중적으로 관찰을 해보겠습니다.
 

상자에서 a와 b 문자를 뽑는 방법을 가지고 설명을 해보도록 하겠습니다.

a^3 이란 세상자에서 모두다 a를 뽑았다는 것을 의미합니다. 따라서 세상자에서 b를 0개를 뽑았다는 의미로 해석할수 있습니다. 그래서 3C0 이렇게 계수를 나타낼수 있습니다. 같은 방법을 사용하면

a^2b의 계수는 3개의 상자중 한곳에서 b를 뽑는 경우라고 생각할 수 있으므로 3C1
ab^2의 계수는 3개의 상자중 두곳에서 b를 뽑는 경우라고 생각할 수 있으므로 3C2
b^3의 계수는 3개의 상자중 세곳에서 b를 뽑는 경우라고 생각할 수 있으므로 3C3
 

이와같은 규칙성을 발견하게 됩니다. 그러면 이것을 바탕으로 해서 일반화를 시키게 되면

이항정리의 식이 완성되게 되고 이것을 일반항을 이용해서 시그마마로 변형시키면 궁극적으로 완성된 식이 만들어지게 됩니다.

03.  수학의 정석 : 이것을 이용해서 어떤 문제들이 나올 수 있을까...???

시그마에서 변수 r=0 에서 부터 시작을 하는데 이것을 r=1또는 그보다 큰값으로 변경하여 출제하는 경우가 있습니다.

이항정리에서 a나 b 의 역할을 하는 부분을 1을 사용하여 식에서 생략해 버리는 경우입니다. 이 경우 대다수의 학생들이 1을 찾아내지 못해서 문제를 풀지 못하는 경우가 발생하게 됩니다.   

곱셈의 교환법칙을 이용하여 조합과 거듭제곱의 위치를 변경하는 경우입니다.

 

곱셈의 교환법칙과 1을 이용한 생략을 한꺼번에 이용하는 경우도 있습니다.  

단순히 이항정리의 식을 대부분 외우거나 건성으로 보는 경우가 많은데 자세히 살펴보게 되면 출제자들이 주어진 조건들 중에서 어떤것을 건드려서 출제하는지를 파악이 상당히 쉽게 할 수 있게 됩니다. 이항정리된 결과를 놓고 나올 수 있는 형태를 곰곰히 생각해본 결과 입니다. 아마도 정석책이나 여러기본서나 익힘책들을 보다 보면 이 원리에서 이 변형된 속임수에서 크게 벗어나지 않는다는 것을 알수 있습니다.

미흡한 내용이지만 ...나름대로 한번 정리를 해보았습니다.