[미적분과 통계 이론 03탄] 이항정리의 성질의 다양한 CASE 이해하기..???

 

01.   이항정리 성질 준비 단계

 이항정리의 전개식에서 이식은 항등식이라는 사실을 이용해서 양변에 a와 b에 다양한 값을 대입하여 이항정리의 성질을 만들게 됩니다.

1단계에서는 a=1, 그리고 b=x를 대입하여 식을 변형시켜 줍니다.

이와 같은 식이 만들어지는데 이 상태에서 x의 값을 1,-1, i 등의 값을 대입하면서 관련된 이항정리 성질의 공식들을 만들어 나가게 됩니다.

02.    이항정리의 성질 기본편

식의 특징은 이항정리의 모든 계수의 합이 2^n이 된다는 점을 알수 있습니다.

03.   앞의 이항정리 내용에서 파생되어 나온 아이들 ....01탄

위에서 나온 중요한 두개의 식을 정리하면 ...

이 두식을 가지고 더하면  

즉 nCr 에서 r이 짝수인 값들을 합하면 2^n에 절반이 된다는 사실을 알 수 있습니다.

디시  두식을 가지고 빼게 되면

마찬가지로  nCr 에서 r이 홀수인 값들을 합하면 2^n에 절반이 된다는 사실을 알 수 있습니다. 따라서 우리는 두가지 세로운 사실을 알게 되는데요  r 홀수들만 모은 값과 r이 짝수인 값들만 모은값이 같다는 사실과 그리고 그 값은 2^n 절반이 된다는 사실입니다.

04.   앞의 이항정리 내용에서 파생되어 나온 아이들 ....02탄

2^n에서 n이 홀수이면 우변에 나오는 항의 갯수가 짝수개가 나오게 되는데 조합에서
nCr=nCn-r은 값이 같게 나오기 때문에 결과적으로 양쪽이 쌍으로 같은 값이 나오는 형태가 만들어지게 됩니다.

결론적으로 일반화를 시켜서 말씀을 드리면 n=2m-1 나오되면 우변의 항의 갯수가 짝수개가 되기때문에 양쪽이 쌍으로 같은 값들이 나오게 됩니다.
따라서 전체항의 앞쪽의 절반과 뒤쪽의 절반은 값이 같게 됩니다. 즉 n=2m-1이라고 가정을 하면 앞쪽의 절반 = 뒤쪽의 절반 =2^(n-1) 이라고 할 수 있습니다.

그리고 실제로 양쪽끝의 짝으로 이용하는 문제가 수능이나 모의고사에서 종종 나오는 경우가 있기 때문에 조금은 이런 유형을 유심히 보아둘 필요가 있습니다. 

05.   다시 원점에서 x=i 를 대입했을때.... (수능에 나온후 유명해짐)

이 이항정리 식에서  x=i를 대입함 그리고 n은 일반적으로 4의 배수로 주어짐
수능에 실제로 나온것으로 예를들어 설명드리겠습니다. 


수능기출문제  

대부분의 학생들이 이부분이 출제되었을때 쇼크가 컸는데 이유는?

이항정리에 기본성질과 파생된 내용정도만 알고 있었습니다.
 즉 x=1 or x=-1을 넣어서 나오는 결과만을 대부분의 확생들이 외우거나 접해서 풀어본 상태라 이런문제의 경험이 전무했습니다. 직접 x=i 들어가 있는 꼴을 전개를 시켜본 경험이 있는 학생들이 드문 상태라 문제를 풀면서 오답이 많이 나온 대표적인 이항정리 성질의 기출문제 였습니다.

여기서 좌변의 (1+i)^16을 계산을 해보면

결과적으로 허수는 없어지고 실수만 나오는 결과로 나오게 됩니다. 실수가 되려면 n이 4의 배수가 되어야 합니다.
그래서 일반적으로 x=i 들어가는 문제가 출제가 되면 100% 지수가 4의 배수로 출제가 되게 됩니다.

그리고 나서 우변을 정리를 해보면

이와같이 나오게 됩니다.
따라서 우리가 구하는 답은 256이 됩니다.


허접하게 나마 중요한 이항정리의 성질 부분을 자세히 설명을 드렸습니다.
많은 도움이 되었으면 좋겠습니다. .