[수학상 이론 08탄] 산술기하 평균을 이용한 최소구하기

 

 

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01.핵심을 향하여....

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고1 절대부등식 영역에서 처음 나오게 되어 수능까지 연결되어 자주 나오는 산술 기하평균의 최소에 대해서 알아보고자 하오 ....

 

이 보통 산술평균과 기하평균이 무엇인기 조차 말하지 않고 ....그냥 달랑 절대부등식 1개를 주고 이 둘 사이에는 항상 이런 관계가 성립한다. 이렇게 성의없게 설명되어 있는 문제집이 많아서....학생들은 그냥 외워는 두는데... 어디서 쓰게 되는지 왜 이때 산술기하는 쓰는지도 ....모른체....지나가는 학생들을 위하여....(너무 거창한듯 ^^)

 

허접한 저가 조금 자세히 알아보기로 하겠소....

 

 

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02. 산술기하 평균의 뜻

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산술평균 : n개의 수의 합을 그 갯수로 나눈 값

 

예를 들면

 

 

기하평균 : n개의 양수의 곱의 n제곱근 (고2 수1 내용)

 

 

기하평균에서는 양의 제곱근만 다루기 때문에 양의 제곱근과 제곱근은 같은 의미로 생각하면 됩니다.

 

그러면 정의를 이용해서 a,b 기하평균을 표현하면

 

 

 

더 자세한 내용을 알고 싶은 분은 아래 글을 참고하세요 
 n 제곱근이 필요한 이유는?.<---클릭

 

 

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03. 산술평균과 기하평균의 대소관계 

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두개의 양수 사이에 산술기하평균

 

증명은 거의 모든 참고서와 문제집에서 나오기 때문에 여기서는 생략하겠소

(욕허지 마시고 책참조)

그 대신 이 부분에 최대최소를 풀기 위해서 숨겨진 내용들에 대해서 집중적으로 공략해 보도록 허갰소

 

 

 

 

 

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04. 산술기하 평균을 이용해서 최소값 구하기

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최소값을 구하기

 

a>0, b>0 이고 ab=k(일정한값)  a+b의 최소값을 구하라?

 

사고과정을 분석하면   

 

 

 

 

여기까지 되면 산술기하를 본격적으로 사용해서 풀이를 실시한다.

 

 

 

이 풀이과정을 보면 알수 있듯이 산술기하 평균을 이용해서 최소값을 구할려면 그것을 사용하기 위한 조건을 필수적으로 찾아야 한다는 사실을 알수 있죠

 

1. 두수가 모두 양수로 주어져야한다.

2. 두 수의 곱이 일정한 값으로 주어져야 한다.

3. 두 수의 합의 최소값을 찾는 문제여야 한다.

 

위의 세가지를 빠르게 찾아내면 산술기하를 이용해서 쉽게 문제를 이론적으로는 쉽게 풀수 있겠죠...

 

그런데 문제는 이와같은 내용들을 보이지 않게 속이는 경우가 많죠...

 

 

 

이 문제와 비슷한 유형들이 수능과 교육청에서 많이 나왔는데요

산술기하를 이용한 최소문제로 보는 순간 느껴집니까?

만약 느켜진다면 그 학생은 수학에 아주 재능이 있는 학생입니다.

 

앞에서 말한 조건 1,2가 전혀 눈에 들어오지 않네요....

 

 

 

 

산술기하에서 최소값 구하는 문제에서는 초기조건과 두수의 곱이 생략되어 문제 자체에 포함되는 경우가 많이 나옵니다. 이부분을 빠르게 찾아내면 산술기하 평균을 이용한 최소값 문제는 아주 쉽게 해결할 수 있게 되겠죠.

 

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여기까지가 허접한...저의 산술기하 평균에 대한 생각이었습니당.....