[수학상 이론 07탄] 이차방정식의 판별식에 새로운 관점 [QR]

 

 

 

  

AD TIME /  즐겨찾기, 네이버 이웃은 사이드바에 있어요~~

 

 

01.  판별식이 공부할수록 어려워지는 이유?

 
방정식에서 판별식은 상당히 개념이 명쾌하고 쉽게 이해를 하지만 부등식, 도형의 방정식,부등식 , 심지어 미분쪽까지 판별식이 연계되어 나오게 되는데 대부분은 방정식의 근의 공식관점에서 공식을 이해한 경우가 많기 때문에 방정식을 지난 후 다른단원과의 연계해서 이해를 실패하는 경우가 많이 발생합니다.

 

판별식은 방정식의 근의공식에서 접근하는 방법과 함수적 입장에서 이해하는 방법 2가지가 있는데 ...대부분의 학생들은 함수적 입장에서 이해하는 훈련이 되어있지 않고 단지 그때 그때 부분적으로 이 부분을 판별식으로 푸는 구나 정도만 생각하고 넘어가는 경우가 많습니다.

 

그래서 이번 시간에는 이 부분에 대해서 집중적으로 다루어 보도록 하겠습니다.

  

02. 판별식 방정식 관점에서 보기

이차방정식에서

 

 

 

근은 근의공식을 통해서 구할 수 있습니다.

 

 

 

 

그런데 여기서 실근의 갯수에 대해서 알아보는데 

실근의 갯수를 결정하는 것은 

 

 

 

 의해서 결정이 되는 것을 알수 있는데  

 

D>0 서로다른 두 실근

D=0 중근 (같은 두 실근)

D<0 서로다른 두 허근  

 

 

그러나 여기서 주의해야 할 점은 계수 a,b,c 가 실수인 상태에서만

판별식을 사용할 수 있습니다.  만약 계수에 허수가 있다면 판별식을 쓸수가 없습니다.

근의 공식은 계수가 허수 일지라도 사용이 가능하지만 판별식은 실수에서만 사용할 수

있습니다. 

그럼 허수에서 실근의 판단은 직접 해를 판단하는 수 밖에 없습니다.   

 

 

03.   판별식을 함수적 관점에서 해석

 

이 이차방정식을 두개의 함수로 분리를 실시한다.

 

 

 

으로 분리를 하면 결국 방정식의 해라는 것은 함수 입장에서

생각하면 이차함수와 x축 (y=0) 동시에 만족하는 교점이라는 것을 알수 있습니다.

따라서 실근의 갯수는 이차함수와 x축과의 교점의 갯수가 실근의 갯수가 됩니다.

 

그래서 판별식은  이차함수 그래프와 x축과의 교점의 갯수 관점에서 해석이

가능해집니다.

 

 

01단계  x축과 교점이 없을때 

 

 

 

 

02단계 x축과 접할때

 

 

03단계 x축과 교점이 2개일 때 

 

 

 

다른 단원과 연계가 되는 판별식 문제들은 이차함수와 직선의 교점의 갯수라는 관점에서 판별식을 사용하게 됩니다. 위의 그래프와 같이 교점이 없으면 D<0 , 접하는 경우 D=0, 교점이 2개가 생기면 D>0 가 되게 됩니다.  

 

 

04. 판별식은 어떤 단원과 연계되는가? 1탄

 

판별식을 푸는 과정에서 제일 많이 보게 되는 내용이 이차식이 완전제곱이면 이차방정식은 중근을 가진다.

위의 과정을 거쳐서 이차식의 다항식이 완전제곱식이 되도록하는 계수의 조건을 구하는 문제가 출제가 되면 D=0 이용해서 문제를 풀이를 하게 됩니다.

이와같으 상황이 머리속에서 그려져야 문제를 쉽게 풀수 있습니다. 그렇지 않으면 외워서 풀어야 하는 경우가 발생하게 됩니다.

05. 판별식은 어떤 단원과 연계되는가? 2탄

 

절대부등식과 연계하여 출제되는 경우

 

이 이차부등식이 모든 실수 x 에 대하여 성립하기 위한 조건은?

 

위의 부등식 조건을 만족하는 그래프 그림을 그리면

 

따라서 이차함수의 그래프과 x축과의 교점이 없어야 하므로

D<0를 이용해서 풀이를 실시하면 됩니다.

 

06. 판별식은 어떤 단원과 연계되는가? 3탄

 

위의 이차식이 모든 실수 x에 대하여 0이 아닐때 만족하는 조건을 구하라

처음 이 문제를 접하면 심하게 동요하게 됩니다. 이차식 = 0 은 배운적이 있지만 

0이 아니경우는 배운적이 없기 때문입니다. 

이 부분 역시 함수 그래프를 그려서 보게 되면 쉽게 상황을 파악할 수 있게 됩니다. 

 

 

 

이차함수 그래프로 그려서 해석을 하게 되면 이와같이 x축과 교점이 나오지 않는 형태가 되어야 한다는 사실을 알 수가 있습니다.

따라서 이차방정식의 판별식에서 실근이 존재하지 않을 조건인 D<0를 이용해서 조건을 찾으면 됩니다.  

 

 

07. 판별식에 대한 종합정리

 

판별식이 근의 공식으로 부터 유도되어 나왔다는 사실을 이해하고 함수에서 이차함수과 X축과의 교점이 해의 갯수를 의미한다는 사실을 이용하여 방정식이나 함수에서 교점의 갯수가 판별식을 이용하여 해석할 수 있다는 사실을 꼭 기억해 두어야 합니다.
여기까지.....판별식에 대한 허접한 저의 생각이었습니다.