[ 수1 이론 01탄] 역행렬의 개념에 대한 정확한 이해를 위해서는 문제를 보아야 한다.

 

01. 수학의 정석 |  AB=E 속에 들어있는 숨어있는 행렬의 의미들은???

 대부분의 학생들은 AB=E를 보고 B는 A역행렬이고 , A는 B의 역행렬이라는 정도만 알고 끝을 냅니다. 그러나 이 AB=E라는 곳에는 생각보다 많은 내용이 들어 있습니다. 생각이 해야할 것은 어느 책이나 나오지만 쉽게 지나치게 되는 내용입니다. 
                          AB=BA=E
단원이 역행렬이라 역행렬에는 주목을 하는데 행렬이 일반적으로는 교환법칙이 성립하지 않지만 역행렬 관계가 있을때는 교환법칙이 성립합니다. 따라서 여기서는 역행렬 여부도 중요하지만 AB=BA라는 사실을 반드시 잊지 말아야 합니다. 특히 수능과 교육청 모의고사 출제자들은 이부분을 집중적으로 공략하는 경향이 많았습니다.

02. 수학의 정석 |    AB=BA를 이용한 문제들.....

참과 거짓을 판단하는 문제인데용 A의 역행렬이 E+B라는 사실을 알수 있는데 그러면 교환법칙이 성립하게 됩니다
따라서 A(E+B) = (E+B)A 라고 쓸수 있습니다. 전개를 실시하면 A+AB=A+BA가 됩니다. 그래서 AB=BA가 성립한다는 사실을 알게 됩니다.

이문제는 상당히 많은 학생들을 틀리게 만들었던 교육청 시험문제입니다.
식은 일단 한쪽에 단위행렬만 남도록 만들줍니다. 그리고 이해를 편하게 하기 위해서 문제 풀이과정을 단계적으로 나누어서 설명을 실시했습니다. 

       

 

                
여기서 문제 풀이 과정에서의 특징은 중요한 포인트 지점이 교환법칙과 역행렬을 이용한 부분이라고 볼수 있습니다.

02. 수학의 정석 |    AB=O 에서 A와 B의 역행렬과의 관계는 ???

여기서 역행렬과 관련된 내용을 추가해서 설명을 드리도록 하겠습니다.

AB=O이면 일반적인 경우 가능한 것은 3가지 경우가 가능한데....A=O ,B=O , AB=O 인 경우입니다. 그래서 위의 문제는 거짓이라는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 그러나 요즘에는 이렇게 쉬운 문제는 잘 출제를 하지 않습니다. 그래서 조금 더 깊게 알아 불 필요가 있습니다.

에서 특히 AB=O 인 경우에 주목해야 하는데요
AB=O 에서 A≠O and B≠O  대부분 이정도까지 책에서 언급이 되는데 여기에는 추가조건이 더 필요로 합니다.
AB=O 이기 때문에 AB 행렬은 역행렬을 가지고 있지 않습니다. 따라서 여기서 A와 B둘다 역행렬을 가지고 있으면 않됩니다. 왜냐하면 하나라도 역행렬을 가지고 있다면 AB=O의 양변에 역행렬을 곱하면 A또는 B가 O이 나오기 때문에A≠O and B≠O 라는 조건에 모순이 발생하게 됩니다.

역행렬이 존재를 하게 되면 양변에 역행렬을 곱하는 것이 가능하지기 때문에 위의 문제는 참이 가능하게 됩니다.미묘한 차이지만 잘 이해해 두셔야하는 내용입니다. 추가로 정리를 해보면 이런 내용이 됩니다.

지금까지 역행렬의 교환법칙과 역행렬 관련된 내용에 대한 연산과 연계한 설명입니다. 열심히 공부하시는 분들에게 조금이나마 도움이 되었으면 좋겠습니다....

       Think and WIN !!!