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2012.12.11 10:15 - WINNER 교육전략

[수2 이론 07탄] 평균값 정리와 증명 [R]

 

01.   평균값 정리를 시작하면...      

 

앞의 포스팅에서는 롤의 정리에 대해서 알아보았습니다.

[수2 이론 06탄] 롤의 정리 해석과 증명 [QR]

이것을 이용해서 이번 시간에는 평균값 정리와 증명에 대해서 알아 보겠습니다. 수2 미분쪽에서 부등식과 연계해서 많이 출제되기 때문에 잘 이해를 해두시고 미분관련된 부등식에서 적용할 수 있는 능력을 길러야 합니다.


02.    평균값 정리란      


- 평균값 정리 (Mean Value Theorem)-

01. 함수 f(x)가 닫힌 구간 [a,b]에서 연속

02. 함수 f(x)가 열린 구간 (a,b)에서 미분가능

 

01, 02 조건이면

 

가 c인 열린구간 (a, b) 사이에 적어도 하나가 존재한다.


 



 

03.   평균값 정리의 증명

     

 

- 01단계-

 

 



위의 그림에서 두점 A(a,f(a)), B(b,f(b))를 지나는 직선g(x)는

 

 

 

 

- 02단계-

 

 

 

 

 


h(x)를 f(x)와 g(x)의 차를 하나의 함수로 생각하면

h(x)=f(x)-g(x)

 

h(a)=f(a)-g(a)=0

h(b)=f(b)-g(b)=0

∴ h(a)=h(b)

 

 

- 03단계-

 

 

 


h(x) 함수는

01. [a,b] 연속 

02. (a,b) 미분가능 

03  h(a)=h(b)

->롤의정리에 의해서 h'(x)=0 인 c가 (a,b) 사이에 적어도 1개가 존재함 

 

조건을 만족하는 c가 (a,b)에 적어도 하나가 존재한다.

 

 

를 만족하는 c도 (a,b)에서 적어도 하나 존재하게 된다.

 

여기까지가 WINNER의 설명이었습니다.

 

 

  1. BlogIcon 오오.. 2013.02.23 15:38 신고

    교과서를능가하는설명력덕분에매우쉽게이해했어요..고3이라 다잊어먹고있었는데ㅋㅋ쨌든 잛ㅗ고갑니다.

  2. BlogIcon 우왕 2013.04.21 19:09 신고

    이런식으로 증명하는 거였구나ㅋㅋ
    많은 도움 되었습니다 감사감사

  3. BlogIcon 은지 2013.08.02 00:31 신고

    와우! 머리에쏙쏙들어옴^^ 감사함다~

  4. BlogIcon 굿ㅇㄹㅇㄴㅇㅎ 2013.08.16 17:44 신고

    솔직히 그냥 외워서 잘 까먹었는데 이젠 정확히 알고 써먹을수있을거같네요 증명 굿

  5. BlogIcon 굿ㅇㄹㅇㄴㅇㅎ 2013.08.16 17:44 신고

    솔직히 그냥 외워서 잘 까먹었는데 이젠 정확히 알고 써먹을수있을거같네요 증명 굿

  6. BlogIcon 굿ㅇㄹㅇㄴㅇㅎ 2013.08.16 17:45 신고

    솔직히 그냥 외워서 잘 까먹었는데 이젠 정확히 알고 써먹을수있을거같네요 증명 굿

  7. BlogIcon 굿ㅇㄹㅇㄴㅇㅎ 2013.08.16 17:45 신고

    솔직히 그냥 외워서 잘 까먹었는데 이젠 정확히 알고 써먹을수있을거같네요 증명 굿

  8. BlogIcon 굿ㅇㄹㅇㄴㅇㅎ 2013.08.16 17:45 신고

    솔직히 그냥 외워서 잘 까먹었는데 이젠 정확히 알고 써먹을수있을거같네요 증명 굿

  9. BlogIcon 굿ㅇㄹㅇㄴㅇㅎ 2013.08.16 17:45 신고

    솔직히 그냥 외워서 잘 까먹었는데 이젠 정확히 알고 써먹을수있을거같네요 증명 굿

  10. BlogIcon 굿ㅇㄹㅇㄴㅇㅎ 2013.08.16 17:45 신고

    솔직히 그냥 외워서 잘 까먹었는데 이젠 정확히 알고 써먹을수있을거같네요 증명 굿

  11. BlogIcon 굿ㅇㄹㅇㄴㅇㅎ 2013.08.16 17:45 신고

    솔직히 그냥 외워서 잘 까먹었는데 이젠 정확히 알고 써먹을수있을거같네요 증명 굿

  12. BlogIcon 굿ㅇㄹㅇㄴㅇㅎ 2013.08.16 17:45 신고

    솔직히 그냥 외워서 잘 까먹었는데 이젠 정확히 알고 써먹을수있을거같네요 증명 굿

  13. 폭풍저그 2013.08.17 00:20 신고

    윗분무서움ㄷ

  14. BlogIcon 도경 2014.03.26 14:05 신고

    정말 깔끔하게 정리가 되네요

  15. BlogIcon ㅇㅇㅇ 2014.04.18 16:50 신고

    와.. 정말 깔끔하고 눈에 확들어오는 증명
    최고에요
    코시's mvt 증명도 있나요/

  16. BlogIcon ㅇㅇㅇ 2014.04.18 16:50 신고

    와.. 정말 깔끔하고 눈에 확들어오는 증명
    최고에요
    코시's mvt 증명도 있나요/

  17. 2014.06.07 21:39

    비밀댓글입니다

  18. 와 직관적 2015.05.18 16:00 신고

    문과생인데 경제학과라 롤-평균치-테일러 정리를 모두 알아야햇는데 책엔 저 g(x) 부분이 안나와있고 h(x)부분도 그림으로 보여주질 않아서 긴가민가 햇는데!! 직관적이고 쉬운 설명에 감탄하고 갑니다.

  19. 정한화 2017.02.03 11:00 신고

    항상 이해하기쉬운 증명 잘보고있습니다!
    다름이아니라 h=f-g를 미분하는 과정에서 g함수에 오타가 나신 것 같아서요!ㅎㅎ 앞으로도 좋은자료 많이올려주세용~~!!

  20. 배창민 2017.05.06 15:16 신고

    개념원리보다 이해잘되요..이거 모아서 혹시 책으로 만들생각 없으신지....대박칠듯한데

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