[수2 이론 07탄] 평균값 정리와 증명 [R]

 

01.   평균값 정리를 시작하면...

 

앞의 포스팅에서는 롤의 정리에 대해서 알아보았습니다.

[수2 이론 06탄] 롤의 정리 해석과 증명 [QR]

이것을 이용해서 이번 시간에는 평균값 정리와 증명에 대해서 알아 보겠습니다. 수2 미분쪽에서 부등식과 연계해서 많이 출제되기 때문에 잘 이해를 해두시고 미분관련된 부등식에서 적용할 수 있는 능력을 길러야 합니다.

02.    평균값 정리란

- 평균값 정리 (Mean Value Theorem)-

01. 함수 f(x)가 닫힌 구간 [a,b]에서 연속

02. 함수 f(x)가 열린 구간 (a,b)에서 미분가능

 

01, 02 조건이면

 

가 c인 열린구간 (a, b) 사이에 적어도 하나가 존재한다.

 

 

03.   평균값 정리의 증명

 

- 01단계-

 

 

위의 그림에서 두점 A(a,f(a)), B(b,f(b))를 지나는 직선g(x)는

 

 

 

 

- 02단계-

 

 

 

 

 

h(x)를 f(x)와 g(x)의 차를 하나의 함수로 생각하면

h(x)=f(x)-g(x)

 

h(a)=f(a)-g(a)=0

h(b)=f(b)-g(b)=0

∴ h(a)=h(b)

 

 

- 03단계-

 

 

 

h(x) 함수는

01. [a,b] 연속 

02. (a,b) 미분가능 

03  h(a)=h(b)

->롤의정리에 의해서 h'(x)=0 인 c가 (a,b) 사이에 적어도 1개가 존재함 

 

조건을 만족하는 c가 (a,b)에 적어도 하나가 존재한다.

 

 

를 만족하는 c도 (a,b)에서 적어도 하나 존재하게 된다.

 

여기까지가 WINNER의 설명이었습니다.