[수학상 이론 19탄] 약수와 배수의 정확한 정의와 의미[R]

 

01.   약수와 배수를 시작하며...

 

 약수와 배수는 초등학교 4학년부터 나와서 고등학교 1학년에 다항식의 약수와 배수까지 상당히 긴 시간동안 배우고 무의식적으로 사용하고 있는데 정확한 이해하고 있는 학생들이 많지 않은 편입니다.  그래서 이번시간에는 약수와 배수에 대한 정확한 정의와 의미에 대해서 알아보고자 합니다.

 

여기서는 3가지 파트로 나누어서 설명하고자 합니다.

01. 중학교에서의 약수와 배수의 정의

02. 고등학교에서 약수와 배수의 정의

03. 다항식에서의 약수와 배수의 정의 

 

02.    중학교에서의 약수와 배수의 정의

 

자연수 a,b 에 대하여

a=bq+r(0≤r<b)이면 a를 b로 나눈 몫을 q, 나머리를 r 이라고 한다 

여기서 r=0인 경우 a=bq에서 b는 a의 약수 ,a는 b의 배수라 한다.

가장 중요한 특징은 a,b가 모두 자연수라는 사실이다.

 

01. 0은 2의 배수이다.
-> 거짓이 된다. 왜냐하면 a,b가 모두 자연수이어야 하는데 여기서는 a가 0이기 때문이다.

02. 1/3은 1의 약수이다. 1은 1/3의 배수이다.

-> 모두 거짓이 된다. 왜냐하면 약수와 배수는 a,b 모두 자연수만 다루기 때문에 1/3로 인해서 거짓이 된다.

03.   고등학교에서의 약수와 배수의 정의

정수 a,b가 적당한 정수q 에 대하여

a=bq(b≠0)라는 식을 만족시키면

b를 a의 약수 또는 인수라 하고 a를 b의 배수라고 한다.

01. 0은 2의 배수이다.

-> 여기서는 참이 된니다. 왜냐하면 0=2×0를 하는 것이 가능하기 때문입니다.

즉 중학교 때까지는 0은 짝수가 될수 없었으나 고등학교에 오면 가능하다는 뜻이 됩니다.

 

위의 내용을 좀더 확대하면 0은 0을 제외한 모든수의 배수가 가능합니다.

0(정수)=N(0이아닌정수)×0(정수)

 

02.0은 2의 약수이다.

-> 거짓이 됩니다. 왜냐하면 b≠0이 될수 없고 2=0×정수 조건을 만족하는 정수도 존재하지 않습니다.

 

03. 4의 약수는 중학교에서는 1,2,4 만 가능했으나 고등학교에는 정수가 가능하므로 약수는 -1,-2,-4,1,2,4로 음수도 약수가 가능하게 됩니다.

04.   다항식의 약수와 배수

 

다항식 A와 다항식 B (B≠0)가 적당한 다항식 Q에 대하여

A=BQ라는 식을 만족하면

B를 A의 약수 또는 인수라 하고 , A를 B의 배수라고 한다.

예를 들어 x(x-1)약수는 무엇일까요?

당연히 x, x-1, x(x-1) 대부분은 말할 것이다.  

실제로는 이것만 의미하는 것이 아니라

 

 

 

이렇게 해서 약수와 배수에 대해서 알아보았습니다.

약수와 배수의 미묘한 차이점에 대해서 자세히 알아보았는데, 초기의 조건에 따라서 결과가

달라지는 것을 알 수 있습니다.

여기까지가 WINNER의 설명이었습니다.