닫혀있다

 

'닫혀있다' 를 시작하며

 

고등학교에서 수학을 배우면서 당황하게 만드는 부분은 익숙하지 않은 용어들이 갑자기 나오기 시작하면서 혼란에 빠지고 개념에 대한 정의 열심히 읽어보지만 ...무슨말인지 느낌이 오지 않는 경우가 종종 발생하게 됩니다.  그리고 이 부분이 배우는 사람들 입장에서는 수학에 대한 흥미를 점점 잃게 만드는 요인으로 작용합니다.

 

그래서 선생님이나 공부 잘하는 학생에게 질문을 하면 정의대로 풀면 된다는 ...어이없는 답변이 되돌아 옵니다. 이럴때는 어떻게 해야 개념에 대한 정의를 명확히 익힐 수 있을까요?

 

 

 

고1 초기에 개념 중 이해가 힘든 부분으로 대표적인 부분이 닫혀있다, 항등원, 역원 등이 있습니다.

이 중에서 '닫혀있다' 에 대해서 집중적으로 알아보도록 하겠습니다.

 

자연수가 덧셈의 연산에 대하여 '닫혀있다' 의미

 

여러분에게 초등학교 2학년 동생이 있습니다.

그런데 그 초등학생은 지금 수는 자연수까지 알고있고 구구단을 배운 상태입니다.

동생의 산수실력을 체크하기 위해서 질문을 합니다.

 

질문 : 3+2 는 뭐지?

 

답변 : 5

 

질문 : 3-2 는 뭐지?

 

답변 : 1

 

질문 : 2-3 는 뭐지?

 

답변 : ???

 

종종 자신도 모르게 동생에게 너 모르니???

너 산수를 잘못하는구나 이건 -1이란다. ...그러면 동생은 그게 뭐야???

 

이런 질문을 받게 됩니다.

 

 

왜 이런일이 발생했을까요?

 

동생이 알고 있는 수는 자연수입니다.

그래서 자연수+자연수 = 자연수 나오는 경우는 잘 계산을 합니다.

그러나 자연수-자연수 = 자연수, 0 , 음의정수가 나오게 됩니다.

따라서 동생이 알지 못하는 0이나 음의 정수가 나오게 되는 경우에는 동생은

계산이 불가능한 사태가 발생하게 됩니다.

 

이와같이 자연수 집합에서 임의의 두 자연수를 가지고 덧셈 연산 결과 자연수로 나올때

'자연수 집합은 덧셈에 관하여 닫혀있다.'

 

그리고 자연수 집합에서 임의의 두 자연수를 가지고 뻴셈 한 연산 결과는 자연수 이외에서 나올수 있을때는 '자연수 집합은 뻴셈에 관하여 닫혀있지 않다' 라고 표현합니다.

 

 

 

수의 집합과 사칙연산의 관계

자연수의 경우는 사칙연산 중 어디에 닫혀 있을까요?

이런 문제는 외울려고 가지 마시고 직접 손으로 예를 들어 써보는 것이 좋습니다.

 

자연수 + 자연수 = 자연수

자연수 - 자연수 = 자연수 , 0 ,음의정수
자연수 * 자연수 = 자연수

자연수 / 자연수 = 자연수, 분수(정수가 아닌 유리수)

따라서 자연수는 사칙연산중 덧셈과 곱셈에 관하여 닫혀 있다

정수일 때는 사칙 연산 중 어디에 닫혀 있을까요?

 

정수 + 정수 = 정수

정수 - 정수 = 정수
정수 * 정수 = 정수

정수 / 정수 = 정수,분수(정수가 아닌 유리수)

따라서 정수는 사칙연산 중 덧셈과 뺼셈, 곱셈에 관하여 닫혀 있다

 

유리수의 경우는 사칙연산 중 어디에 닫혀 있을까요?

유리수 + 유리수 = 유리수

유리수 - 유리수 = 유리수

유리수 * 유리수 = 유리수

유리수 / 유리수 = 유리수 ( 분모는 0이 아닐때)

따라서 유리수는 사칙연산 중 덧셈과 뼬셈, 곱셈, 나눗셈에 관하여 닫혀 있다

 

무리수의 경우는 사칙연산 중 어디에 닫혀 있을까요?

무리수 + 무리수 = 유리수 or 무리수

무리수 - 무리수 = 유리수 or 무리수

무리수 * 무리수 = 유리수 or 무리수

무리수 / 무리수 = 유리수 or 무리수

따라서 무리수는 사칙연산 중 덧셈과 뼬셈, 곱셈, 나눗셈에 관하여 닫혀 있지 않다.

 

실수의 경우는 사칙연산 중 어디에 닫혀 있을까요?

실수 + 실수 = 실수

실수 - 실수 = 실수

실수 * 실수 = 실수

실수 / 실수 = 실수 (분모는 0이 아닐때)

따라서 실수는 사칙연산 중 덧셈과 뼬셈, 곱셈, 나눗셈에 관하여 닫혀 있다

 

어떤 연산에 대하여 '닫혀 있다'의 의미

 

수의 집합 A에서 임의의 원소 a,b에 대하여

 

원소 a,b는 A에서 두 원소를 뽑는다는 뜻으로 같은 원소를 두 번 뽑아도 됩니다.

그래서 나온 모든 두 원소를 가지고 어떤 연산 결과가 자기 자신의 집합에 원소일때 '닫혀 있다'라는 한다는 뜻입니다.

 

두 원소의 계산 결과가 자기 자신의 집합의 원소가 아니라면 있때는 '닫혀 있지 않다' 라는 뜻이

됩니다.

 

 

예제문제

A={-1,1} 는 덧셈과 곱셈에 대하여 닫혀있는가?

 

 

 

예를 들어서 닫혀 있다는 개념에 대해서 알아보고 마지막으로 일반화된 정의를 사용해서 표현을 해 보았습니다.

여기까지가 ...WINNER의 '닫혀 있다' 대한 내용입니다.