[수2 이론 10탄] 함수의 연속 01

 

01.함수의 연속을 시작하면

 

함수의 연속에 대한 의미를 이해를 한 후에 연속이 되기 위한 조건을 이용하여 연속과 불연속을

판단하는 문제들을 풀게 되는데 기본서에서 언급되는 정도의 내용을 좀 더 확장시킨 연속과 관련된 내용들이 집요하게 출제가 됩니다. 그래서 이번 포스팅에서는 함수의 연속에 대한 개념과 이를 이용해서 만들어지는 문제들에 대해서 알아보고자 합니다.

내용이 길어서 2번으로 나누어서 설명이 실시할 예정입니다.

 

01. 함수의 연속과 불연속

02. 무한급수와 함수의 불연속과 연속

 

02.함수의 연속과 불연속

 

보통 연속함수라고 하면 그래프가 끊어지지 않고 계속 연결된 함수를 의미합니다.

이것을 수학적으로 표현을 하면..???

 

수학적으로 표현을 할 때 그래프를 그릴 수 있다면 금방 파악이 가능하겠지만 ..항상 그런 방법을 쓸수는 없기 때문에 수학적으로 정의를 했는데요

 

함수 f(x)가 x=a에서 연속

 

 

즉 위의 세조건 함수값, 극한값 , 함수값=극한값 만족할 때 f(x)는 x=a에서 연속이라고 합니다.

 

처음에는 잘 이해가 가지 않는데 그 이유는 왜 이런 조건들이 필요한지 이해를 못하는 경우가 많습니다. 좀더 쉽게 이해를 할려면 …연속인 아닌 경우를 보면 위 조건에 대한 이해가 훨씬 쉬워집니다.

 

 

위의 그래프에서 알수 있듯이 x=a에서 불연속이 되는 경우는

 

(1) 함수값이 존재 않는 경우

(2) 극한값이 존재하지 않는 경우

(3) 함수값과 극한값이 일치하지 않는 경우

세가지 중 한가지로 나오게 됩니다.

 

따라서 연속이 되기 위해서는 연속이 되기 위한 조건 3가지를 모두 만족해야 한다는 사실을

알수 있습니다.

 

   03.무한급수와 함수의 연속과 불연속

 

 

이 부분은 예를 들어서 설명을 하겠습니다.

 

이 함수의 불연속점을 찾아라.

 

 

 

문제가 나왔다면 바로 문제에 적용하려면 문제가 발생하게 됩니다.

왜냐하면 전체 실수 구간중 어디서 발생하는지 알수 없기 때문입니다.

 

1단계 함수를 간단히 만들어야 합니다.

 

자세히 보니 무한등비급수 형태를 띠고 있기 때문에 초항과 공비를 먼저 파악해야 합니다.

 

 

2단계 그래프를 그리고 불연속점을 확인합니다.

 

 

 

이 기본적인 내용을 좀더 발전 시키면 아래와 같은 문제를 만들수 있습니다.

 

 

 

수능기출

실수 전체에서 정의된 다음 함수가 x=0에서 연속이 되기 위한

자연수 m의 최소값을 구하여라

 

 

 

 

일단 함수를 간단히 만들어야 합니다.

 

 

다항함수는 전구간에서 항상 연속이 됩니다.

따라서 x=0 이 되는 부분만 연속이 되게 만들면 됩니다.

f(0)=0 이기 때문에 극한값만 0 이이 되면 됩니다.

극한값이 0이 나오려면 m값이 5이상이면 x의 거듭제곱을 인수로 가지기 때문에 가능합니다.

따라서 함수가 연속이 되기위한 m의 최소값은 5가 됩니다.

 

여기까지가 함수의 연속에 대한 WINNER의 설명이었습니다.