[수2 이론 11탄] 함수의 연속 02

 

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01.함수의 연속 02 시작하며

 

이번에는 함수의 연속에서 실전모드로 수능이나 모의고사에서 자주 나오는 형태에 대해서 집중적으로 알아보도록 하겠습니다. 단순히 1개의 함수 형태로 주어질때는 학생들이 쉽게 연속 여부를 판단이 가능하기 때문에 두개의 함수를 섞어서 문제를 만드는 경우가 많은데 주로 사용하는 방법은 두함수의 곱과 합성함수를 이용한 문제가 주로 출제가 됩니다.

그래서 이번 포스팅에는 이와 관련된 내용에 대해서 알아보고자 합니다.

 

01. 함수의 곱과 연속과 불연속

02. 함수의 합성과 연속과 불연속

 

 

 

02.함수의 곱과 연속과 불연속

 

 

이 문제가 함수의 곱을 이용한 연속을 판단하는 대표적인 문제인데요

이후로 비슷한 유형의 문제들이 계속 등장하는 계기가 되는 문제라고 할 수 있습니다.

 

먼저 연속함수의 기본 성질을 알고 있어야 하는데

어떤 구간에서 두 함수 f(x), g(x)가 연속이면 다음 함수들도 그 구간에서 연속이 되는데

 

 

 

그러면 여기서 (3) f(x)Xg(x) 에서 위의 그래프와 연계해서 생각을 해보면

f(x) 구간 내에서 연속이지만, g1(x),g2(x),g3(x) 들은 g1(x)는 연속이고 g2((x),g3(x)는 불연속이다.

 

따라서 일단 구간내 에서 확실히 연속이 되는 함수는 y=f(x)g1(x) 함수이고

나머지 함수들은 g2(x), g3(x) 불연속이 되는 지점에서 연속인지 여부를 확인해야 한다.

따라서 정확하게 확인을 하기 위해서는 연속의 정의를 이용해야 한다.

 

y=f(x)g2(x)에서 g2(x)가 불연속인 지점이 x=0 밖에 없기 때문에

y=f(x)g2(x)에서는 x=0 에서 연속 여부를 판단하면 된다.

 

y=f(x)g3(x)에서 g3(x)가 불연속인 지점이 x=2 밖에 없기 때문에

y=f(x)g3(x)에서는 x=2 에서 연속 여부를 판단하면 된다

 

 

따라서 여기서는 모두다 연속이 된다.

 

여기서 좀더 관찰을 해보면 두 함수의 곱에서 f(x) 연속함수이고 다른 함수 g(x)가 불연속 함수일때 f(x)g(x)의 연속여부는 g(x)의 불연속되는 점에서 곱해지는 f(x)의 함수값과 극한값이 모두 0이면 가능하다는 것을 알수 있습니다.

 

즉 어떤 구간에서

1) f(x)는 연속함수이고 f(a)=0 (연속이기 때문에 함수값=극한값)

2) g(x)는 x=a에서 불연속인 함수

3) f(x)Xg(x)는 x=a에서 연속이된다

따라서 f(x)g(x)는 전구간에서 연속이 된다. .

 

또 어떤 구간에서

1) f(x)는 연속함수이고 f(a)가 0이 아님

2) g(x)는 x=a에서 불연속인 함수

3) f(x)g(x)는 x=a에서 불연속

따라서 f(x)g(x)는 x=a에서 불연속이 된다.

 

03.합성함수의 연속과 불연속

 

역시 문제를 가지고 먼저 설명하도록 하겠습니다.

 

 

       기본적인 연속함수에 정의에 의해서 판단해 들어가면 되는데 함수값이나 극한을 직접쓰면

시간이 많이 소모되기 때문에 간단한 형태로 극한을 표현해서 문제를 푸는 것이 효과적입니다.

 

 

 

여기서 주의 해야 할 것은 합성과정에서 ㄱ,ㄴ,ㄷ같이 극한이 서로 다른 방향에서 시작했지만

함수에 따라서 함성과정에서 같은 방향으로 바뀌는 경우 불연속 지점에서 연속이 되는 경우가

나올 수 있습니다. 그래서 되도록이면 그래프을 그려서 극한의 움직임을 확인하면서 풀어야

함성함수의 극한의 경우 실수를 줄일 수 있습니다.

 

 

 

여기까지가 함수의 곱과 합성함수의 연속성과 관련된 내용에 대한  WINNER의

설명이었습니다.

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