Loading
2013.07.26 01:47 - WINNER 교육전략

[적분과 통계 이론 11탄 ] 원순열과 다각순열 그리고 입체도형

 

 01. 원순열과 다각순열 그리고 입체도형을 시작하며...

원순열의 구하는 방법은 별루 어렵지 않으나 ...여기서 사용하는 아이디어를 이용하여 다양한 문제를 만드는 것이 가능합니다. 특히 입체도형의 경우 다각순열의 원리와 연계하여 이해를 필요로 하는데 어렵게 느끼는 학생들이 많이 있습니다.

그래서 이전의 원순열과 다각순열의 이론 위주로 되어있었던 부분을 대폭적으로 보강을 해서 원순열과 다각순열을 이용해서 입체도형과 관련된 내용까지 깊이있게 다루어 보고자 합니다.

입체도형과 관련된 부분의 질문이 많아서 이 부분을 대폭 upgrade를 했습니다. 열심히 공부하는 학생들에게 조금이나마 도움이 되었으면 합니다.

  

 

 02. 원순열과 다각순열 그리고 입체도형 map

 

 

 



 

 

03. 진순열과 원순열의 차이점

 

 

순열의 가장 큰 특징은 각각이 구분되는 자리에 나누어 위치하게 된다는 점입니다.

그러나 원순열의 경우 회전하면 같은 자리가 되기 때문에 초기에 앉거나 색칠되는 것은 위치의 구분이 되지 않습니다.

즉 처음에 사용하는 것을 BOSS라고 한다면 이놈의 위치는 항상 같다는 점이죠 ...

검정,빨강,파랑,노랑으로 색칠을 한다면 검정(BOSS)로 생각한다면 먼저 색칠하는 것을 1로 생각합니다.

 

 

러면 나머지는 BOSS의 위치를 기준으로 세개의 자리가 구분이 되게 순열 문제처럼 풀이가 가능하게 됩니다.세가지 색깔을 서로다른 장소에 색칠하는 방법으로 바뀌게 됩니다.

 

 

 

 04. 다각순열의 원리

 

 


 

8명의 사람을 정사각형의 식탁에 앉게 하는 방법은?

 

01. 90도 회전하면 같은 자리가 나오게 된다.

02. BOSS는 파란색 OR 빨간색 위치에 간다

03. BOSS 배치되면 순열문제가 된다.

비슷하지만 좀더 생각을 요하는 문제

 

9가지 색깔로 나타내는 방법의 수는 ?

 

 

 

01. 중앙을 먼저 색칠한다. 9C1

02. 나머지 8개 지역은 위치의 구분이 되지 않는다. (기준이 없음)

03. BOSS 위치 결정 (빨간곳과 파란곳 90도 회전하면 같은곳이 반복) 2가지

04. 나머지 7개는 순열처럼 나열을 하면됨

계산결과 9 x 2 x 7!

 

 

 

05. 정사면체의 경우의 수

 

 

 

 

 

 

06. 정육면체의 경우의 수

 

 

 

 

 

 

 

 

06. 직육면체의 경우의 수

 

 

 

 

 

 

 

07. 정팔면체의 경우의 수

 

 

 

 

 

여기까지가 원순열과 다각순열 그리고 입체도형에 대한 WINNER 설명이었습니다.

 

 

 

 

 

  1. 이전 댓글 더보기
  2. dcba 2014.05.26 21:38 신고

    제가 2년동안 만날때마다 고생했던 문제들 이설명보고나서 거의 풀리네요 감사해요ㅋㅋ

    그런데 하나 안풀리는 유형이 있어요ㅠㅠ 글구boss개념으로 설명해주시는 분이 많이 안계셔서..

    괜찮으시면 설명 부탁드립니다..보스개념이 잘 적용이 안되요.ㅠㅠ
    정육면체에서 각 면을 4가지색을 이용하여 칠하고 이웃면은 다르게 칠하는
    경우의 수는 어떻게 구해야 하나요? (답7개)

    • Favicon of http://j1w2k3.tistory.com BlogIcon WINNER 교육전략 2014.05.26 23:56 신고

      보스는 편이상 사용하는 말이죠
      한놈을 고정해서 풀어라...머 이런 뜻이죠~~

      윗면과 아랫면이 같을때
      1*1
      여기서 옆면에 3가지 색을 칠하는 방법
      1개 boss 로 마주보는 면이 같을때
      나머지 면을 칠하는 방법은 2가지

      1개 boss 로 마주보는 면이 다를때
      1개를 보스로 마주보는 면 2가지 색
      나머지 두 면은 같은 색이 배치됨
      여기서 방법의 수 2가지

      총 4가지

      윗면과 아랫면이 다를때
      1*3
      옆면은 2가지로 칠해야 하기 때문에 1가지
      총 3가지

      4+3 =7 가지가 되는 것 같습니다.
      경우를 나누어서 풀어야 하기 때문에 조금 힘들듯 합니당...

  3. dcba 2014.05.27 12:21 신고

    감사합니다~~!!!!!
    그리고 1*1바로밑에서 말씀하신 경우에는 마주보는 면이 같은것이 2가지이면 남은 두면 1,2에(남은색을 초,파하고 가정했을때) 초파를 칠하던,파초를 칠하던 같은것 아닌가요? ㅠㅠ

  4. dcba 2014.05.28 12:16 신고

    제가 독학재수를 하는데 수학문제가 막히거나 할때 여쭈어도 될까요?
    혼자하기 벅찬 문제들이 가끔 있어서요..

  5. Favicon of http://j1w2k3.tistory.com BlogIcon WINNER 교육전략 2014.05.28 21:05 신고

    블로그 내용에 관련 질문은 간단히 답해드릴수 있는데
    그외는 답글 수식이나 그림을 넣을수가 없어 힘들것 같네요ㅜㅜ

  6. dcba 2014.05.28 22:26 신고

    네ㅠㅠ

  7. BlogIcon 으앙 2014.06.05 22:30 신고

    으아 정팔면체가 이해가 안되네요..... ㅠ ㅠ 중간에 2를 왜 곱하는지 모르겠어요ㅜ ㅜ ㅜㅜㅜ

  8. 질문 2014.09.13 11:41 신고

    회전시켰을 때 같은 부분끼리 나누어서 boss를 고정시키기 위한 가짓수를 구해야 한다고 보아야 한다고 보면 정사각형, 직육면체, 정육면체 등은 이해가 갑니다. 그런데 정팔면체에서는 같은 부분을 두가지(꼭지점을 공유하는 부분, 변을 공유하는 부분)으로 나누셨는데 전개도에서 rotation 하면 같은 부분이 되지만 정팔면체 그대로 놓고 rotation 시켰을 때 그렇게 나누게 되면 같은 부분이 되는지 알 수 없습니다. 오히려 각 각 마주보는 면끼리가 같게 보입니다 (그렇게 되면 3 부분으로 나뉘지요)
    이 생각이 잘못 된 생각이라면 어떻게 생각해야 하나요?
    전개를 했을 때 같은 부분으로 보이는 것을 생각해야하나요?

    • Favicon of http://j1w2k3.tistory.com BlogIcon WINNER 교육전략 2014.09.17 00:19 신고

      말아 잘 이해가 안되는디???

    • 김태운 2014.12.18 22:40 신고

      도 그 부분이 잘 이해안가는데 이렇게 이해하세요
      총 6개의 면이 잇죠? 그러면 6!입니다
      그런데 3개의 방향이 있죠? 그러면 6! / 3 = 2 X 5! 입니다

  9. BlogIcon 질문 2014.10.26 09:29 신고

    정육면체 문제 2에서 마주보는 면에는 7이 와야 한다가 아니고 6이 와야한다 아닌가요?

  10. BlogIcon 2015.01.19 20:29 신고

    왜 다각순열 에서 보스의 위치가 2인가요?
    빨강 아님 파랑 둘중에 하나이면 1개 아닌가요?
    중긴에 바뀌는건 아닌것 같은데 이해가....;

  11. Favicon of http://j1w2k3.tistory.com BlogIcon WINNER 교육전략 2015.01.19 22:50 신고

    위의것과 비교해서 확인해보세요 잘못이해를 하신것 같습니다

  12. BlogIcon 장현조 2015.02.06 17:51 신고

    입체도형에서 설명이 좋네요 좋은 자료 감사합니다~

  13. 이가람 2015.03.07 16:16 신고

    정사면체 색칠 방법의 수는 4C1x2! 해서 8가지 아닌가요/?^^

  14. Favicon of http://j1w2k3.tistory.com BlogIcon WINNER 교육전략 2015.03.07 23:28 신고

    잘못 이해하신듯 다시 읽어보세요

  15. 이주형 2015.04.27 20:44 신고

    중간고사 준비하면서 문제집마다 나오는 입체도형 원순열 문제가 이해 안되어 힘들었는데 이 포스팅 읽고 바로 이해했네요^^ 정말 큰 도움 받고 갑니다.

  16. 김재희 2015.09.18 18:20 신고

    우와.....정리가 완벽하네요 저는 분할과분배에서 많이 헷갈렸는데 깔끔하게 정리해주셔서 이젠 좀 알것같아요!!!
    너무 감사드립니다. 앞으로도 많은 도움 받게 될것같아요!!

  17. 질문 2016.01.03 14:26 신고

    사각뿔대 같은경우는 서로다른 6가지 색으로 칠한다고 하면 어떻게 해야할까요

  18. 이미래 2017.01.16 22:15 신고

    독학하는데 도움 많이 되었습니다 감사합니당

  19. 강규정 2017.01.31 00:46 신고

    면의 개수만큼의 색이아니라 면의개수보다 적은 색으로 칠할땐 어떡하죠?

  20. 질문있습니다!! 2017.04.03 02:18 신고

    C60 풀러렌 모형을 32가지의 다른색깔로 칠하는 경우의수는 몇가지일까에 대한 의문이 있었는데,
    ☞Boss고정을 오각형으로 하는경우 = 1 x 31! ÷5
    ☞Boss고정을 육각형으로 하는경우 = 1 x 31! ÷3
    의 두가지 경우를 더해서
    (31!/5 + 31!/3) 이라는 결론을 얻어냈습니다.


    그러나! 또한가지 의문이 생겼습니다.
    저같은 경우에는 원순열의 원리를 거꾸로(?) 이용하는 편인데 풀러렌을 32가지의 색깔로 칠하는 경우의 수를 이러한 방식으로 구하지 못하겠습니다.
    제가 경우의 수를 구할때 아래예시처럼 전체 n!의 경우에서 차례로 나눠가는 방법의 이해가 잘못된건가요?? 궁금합니다


    - 원순열을 거꾸로 쓴다는 말의 뜻을 본문의 세가제 예시로 아래 표현해보았습니다.

    <1> 정육면체를 6가지의 색깔로 칠하는 경우의 수는 우선 6!에다가 바라보는 방향이 여섯가지가 같으므로 ÷6을 한후, 여섯가지의 각각의 방향에 대해서 네가지의 같은경우가 나오므로 ÷4 를 또 해줍니다.
    따라서 6!÷6÷4 입니다.
    <2> 가로,세로,높이가 다른 직사각형
    ☞6! 에다가 밑면두개가 같으므로 ÷2를 한후,
    옆면 네개가 두방향에서 바라본게 같으므로 ÷2를 또해줍니다.
    따라서 6!÷2÷2 입니다.
    <3> 정팔면체
    ☞ 8! 에다가 여덟방향이 같으므로 ÷8을 한후, 각박향에 대해서 세가지가 같으므로 (한면이 삼각형이므로)
    8!÷8÷3 입니다.

  21. 이승창 2017.05.31 08:46 신고

    우왕 이런 좋은 블로그가..흔치않은 내용들이 많이있어 좋아요 ㅎ 경우의수 쪽 많이 배워가겠습니다..

    마의 정팔면체 ㄷㄷ

댓글을 입력하세요