[수학하 이론 32탄] 원과 외부직선(m)

 

01 원과 외부직선의 관계를 시작하며…

 

원과 외부 직선의 관계에서는 주로 중심과 직선 사이의 거리(d)와 반지름(r) 사이의 관계에 대해서 주로 다루게 되는데 대부분은 d와 r의 대소 관계에만 집중하고 이를 통해서 확장되어서 나올 수 있는 문제들에 대해서는 좀 더 깊이있게 생각하는 부분이 부족한 편입니다.

 

그래서 이 부분에 대해서 어떻게 문제와 관련해서 확장되는가의 관점에서 접근해 보고자 포스팅의 주제로 결정을 했습니다.

 

 

02 원과 외부직선의 관계

 

 

이것을 보는 순간 무엇이 머리속에 떠오르나요?

원과 직선이 만나지 않는다.

 

 

 

 

 

위의 그림이 머리에 떠오른다면….기본에 충실한 분이라고 생각할 수 있습니다.

여기서 조금 더 생각하면 반지름은 고정되어 있는 값이지만 d는 원의 중심과 직선의 변화에 따라 여러가지 형태의 문제를 만들어 내는 것이 가능합니다.

 

그 예로 가장 대표적인 것이 원과 직선의 거리의 최대 최소를 구하기 입니다.

 

 

 

 

그림을 보면 알 수 있듯이 d와 r을 통해서 쉽게 구해 낼 수가 있습니다.

 

이 문제를 조금 더 까다롭게 만들면 원과 직선의 거리가 최소와 최대가 될 때, 원 위의 좌표를 구하는 문제로 발전시켜서 출제를 할 수도 있습니다.

그렇게 되면 두가지 면에서 생각이 가능합니다.

 

접선의 방정식을 찾기

 

 

외부직선과 수직관계 이용

 

 

특히 접선의 방정식을 이용하는 방법은 함수에서는 자주 사용하는 방법입니다.

 

03 삼각형의 넓이

 

원 외부에 점A와 점 B가 있고, 원 위에 점P가 있을때 삼각형 ABP의 넓이의 최대,최소를 구하여라. 상황을 보면 아래와 같은 그림입니다.

 

 

삼각형의 넓이는 최대와 최소가 되는 상황을 그림으로 그려 보면

 

 

그림에서 알 수 있듯이 삼각형 ABP의 넓이는 밑변의 길이 AB가 일정하기 때문에 높이에 의해서 최대,최소가 결정되게 된다. 그래서 이 문제는 점A와 B를 지나는 직선과 원의 최대, 최소가 높이 역할을 하게 된다.

 

 

04 종합 정리

 

원과 외부 직선 사이의 관계에서는 알아 두어야 할 내용은

 

▶ d > r

▶ 원과 외부 직선의 거리 M: d+r, m:d – r

  ▶ 원과 외부 직선의 거리는 삼각형 문제로 확장가능