[적분과 통계 이론 25탄] 표본평균과 확률

  

01. 표본평균과 확률을 시작하며...

 

이 부분에서는 용어가 많이 나오는데… 대부분의 학생들은 정확히 이해를 잘 못하는 경우도 많고 이해도 못하고 풀이 방법만 익혀서 문제를 푸는 경우가 많습니다.

그리고 나서 시간이 조금 지나면…

금방 내용을 잊어버리고 이 단원은 어렵네ㅜㅜ

공부해야 하는데... 앓는 소리만 하는 부분입니다.

이번 표본평균과 확률에서는 좀 꼼꼼하게 파악해 가고자 합니다.

 

 

 

02. 모집단과 표본집단 관계

 

 

                                               모집단과 표본집단의 관계

 

모집단이란 조사 대상자 전체를 조사를 해서 나온 결과를 말하는데 여기서 확률분포를 구하는데 사용하는 확률변수 X라 두면 그때의 평균과 분산과 표준편차를 표시한 것이

입니다.

 

 

이 정보를 바탕으로 해서 표본 집단과의 관계에 대해서 알아보는 알아보는 것입니다.

 

일단 먼저 모집단에서 n개의 sample를 뽑아서 조사를 하는데

 

n :표본의 크기

표본을 뽑는다 : 추출

이라는 용어를 사용합니다.

 

여기서 나온 결과를 가지고

 

새로운 확률변수로 만들어서 이것을 바탕으로 해서 평균과 분산 표준편차를 조사해서 모집단과의 관계를 파악한 것이 위에 그림에 나와 있는 내용입니다.

 

좀더 이해를 쉽게 하기 위해서 예를 들어서 설명을 해보겠습니다.

 

주머니에 2,4,6,8 네개의 숫자가 들어 있습니다. 여기서 2개의 표본을 복원추출 하였을 때 표본집단의 평균과 분산과 표준편차를 구하여라.

 

먼저 모집단의 확률분포를 보면

 

그러면 표본집단의 확률분포를 보면

 

 

 

 

 

 

 

 

결론은 모집단의 정보와 표본의 크기를 알면 이것을 이용해서 표본집단의 결과를

쉽게 파악이 가능하다는 사실을 알 수 있습니다.

 

 

표본평균은 여기서 확률변수로 사용되기 때문에 여러가지 값으로 나오게 됩니다.

 

  

03. 표본평균이 1번 사용될 때

 

 

위의 내용에서는 표본평균이 확률변수로 사용 되어서 모집단을 이용해서 결과를 알아 내었으나 현실에서는 모집단을 알 수 없기 때문에 위와 같은 방법을 사용하는 것을 불가능합니다. 그래서 현실에서는 반대로 표본을 이용하여 모집단 예측을 하는데 이때는 현실적으로 표본을 여러 번 뽑는 것이 불가능하기 때문에 1회만 표본을 뽑아서 결과를 파악합니다.

 

그때 나오는 결과들을 보면

 

 

여기서 s는 n(표본의 크기) 가 충분히 크면 모평균을 추정할 때 σ(모표준편차)를 대신해서 사용하게 됩니다.

 

예를들어 1회 표본을 뽑았을 때 2와 4가 나온다면

 

 

표본을 1회 추출해서 사용하는 경우에 나오는 정보들은 나중에 모평균을 추정할 때

사용하게 됩니다. 표본평균을 이용하여 확률을 구하는 문제에서는 사용되지 않는 내용입니다.

 

 

04. 표본평균의 확률분포의 성질

 

따라서 표본평균의 범위가 주어지는 확률 문제는 정규분포 문제가 되기 때문에

표준정규분포를 이용하여 확률을 구하는 것이 가능해진다.

 

주로 특정 집단에 대한 확률을 구하는 문제에서 주로 활용이 됩니다.

문제가 처음에는 조금 까다롭게 여겨지기 떄문에 많은 유사한 문제들을 꼭 풀어 보아야 하고 직접적으로 표본평균이 주어지지는 않는 경우가 많습니다.