[미적분 01 08탄] 무한등비급수 도형과 관계식

01.무한등비급수 도형과 관계식을 시작하며...

무한등비급수를 도형의 넓이를 구하는 문제는 교육청,수능에서 한해도 빠짐없이 나오는 문제인데.. 그 중에서 최근에는 구해야 하는 길이를 미지수로 두고 관계식을 이용하는 문제가 종종 출제가 되고 있습니다.

 

예상보다 관계식을 어떻게 만들어야 하는지 그리고 그것과 무한등비급수와의 관계에 대해서 이해를 못하는 학생들이 종종 나와서 ㅜㅜ

 

이번 시간에는 그와 관련하여 출제된 기출문제를 분석해보는 시간을 가지도록 하겠습니다.

열심히 하는 분들에게 조금이나마 도움이 되었으면 합니다.

 

02. 도형과 관계식 기출문제 01

대부분의 무한등비급수 문제들을 풀때는 그림을 먼저 보고 필요한 정보를 문장에서 찾는 것이 효과적입니다. 그림으로 상황이 파악이 되면 바로 풀어도 크게 대세에는 영향을 주지 않습니다.

 

08년 09월 교육청

한 변의 길이가 1인 정사각형 ABCE 있다. 그림과 같이 정사각형 ABCE 안에 두 점 A,B를 각각 중심으로 하고 변AB를 반지름으로 하는 2개의 사분원을 그린다. 이 두 사분원의 공통부분에 내접하는 정사각형을 A1B1C1D1이라 하자.

정사각형 A1B1C1D1안에 두 점 A1B1을 각각 중심으로 하고 변A1B1을 반지름으로 하는 2개의 사분원을 그린다. 이 두 사분원의 공통부분에 내접하는 정사각형을 A2B2C2D2 라 하자.

 

이와 같은 과정을 계속하여 n번째 얻은 정사각형AnBnCnDn의 넓이를 Sn이라 할 때,

 

   의 값을 구하여라.

 

01단계 어떻게 풀것인가?

도형의 닮음비 

⇨ 도형의 길이비

⇨ 길이비의 제곱이 넓이비

⇨ 넓이의 공비

따라서 S1 의 한변의 길이만 구하면 문제는 끝난다.

 

02단계 한변의 길이를 어떻게 구할 것인가?

① 보조선 사용하기

②  의 길이 표현하기

 

                         

③ 관계식 구하기 

 

                

 

 

 

 

03단계 처음 넓이와 공비 구하기

 

 

길이비는

 

공비 r = 넓이비 = 길이비의 제곱

 

03. 도형과 관계식 문제 02

14년 수능기출

 

직사각형 A1B1C1D1 에서  선분  A1B1=1, 선분 A1D1=2 이다.  그림과 같이 선분 A1D1과 선분  B1C1의 중점을  각각 M1, N1 라 하자.

 

 중심이 N1, 반지름의 길이가 선분 B1N1이고 중심각의 크기가    인 부채꼴 N1M1B1을 그리고  중심이 D1, 반지름의 길이가 선분 C1D1이고 중심각의 크기가    인 부채꼴 1M1C1 을 그린다.

부채꼴 N1M1B1 의 호 M1B1 과 선분 M1B1로 둘러싸인 부분과 부채꼴 D1M1C1의 호M1C1과 선분 M1C1로 둘러싸인 부분인 모양에 색칠하여 얻은 그림을 R1이라 하자.

 

그림 R1에 선분 M1B1 위의 점 A2, 호  M1C1 위의 점 D2 와 변 B1C1 위의 두 점 B2, C2를

꼭짓점으로 하고  인 직사각형 A2B2C2D2 를 그린다.

 

직사각형 A2B2C2D2 에서 그림 R1을 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는 모양 에 색칠하여 얻은 그림을 R2라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 n번째 얻은 그림 Rn에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 Sn라 할 때,

 

  의 값은?

  

01단계 어떻게 풀것인가?

도형의 닮음비 

⇨ 도형의 길이비

⇨ 길이비의 제곱이 넓이비

⇨ 넓이의 공비

따라서 직사각형  A2B2C2D2 의 한변의 길이만 구하면 문제는 끝난다.

02단계 한변의 길이를 어떻게 구할 것인가?

① 구하고자 하는 길이 변수 설정하기

 

② 보조선 사용하기

직각삼각형  C1HC2 를 이용하여 x의 관계식을 만들 수 있음

 

  

 

이므로 

 

 

03단계 처음 넓이와 공비 구하기

 

 

처음의 넓이 = (사분원 넓이 - 직각이등변삼각형) X 2

 

길이비는 

공비 r = 넓이비 = 길이비의 제곱

여기까지가 무한등비급수도형과 관계식에 대한 Winner 설명입니다.