[ 기하와 백터 이론 01탄] 일차변환이란....그게 뭐꼬???

01. 수학의 정석 | 변환이란???

일반적으로 집합 의 각 원소 에 집합 의 원소를 대응시키는 규칙이 정해질 때 이것을 에서 로의 사상, 함수 또는 변환이라고 합니다. 특히 수학에서는 점을 다른 점으로 옮기거나, 도형을 다른 도형으로 옮기거나, 식을 다른 식으로 바꾸거나, 함수를 다른 함수로 바꾸는 것을 모두 변환이라 합니다.

그 중에서도 주로 점의 이동을 다루게 됩니다.

02.  수학의 정석 |  일차변환이란 ???

 
변환 f : (x, y) → (x', y')에서 옮겨진 점 x', y'이 상수항이 없는 x, y에 대한 일차식으로 되어있을떄를 말하는데 아래와 같은 아래와 같은 식으로 만들어진 경우를 말합니다.  

                                     
이렇게 바꾸게 되면 좋은 점은 무엇일까요???
원래 변환은 앞의 정의에서 보듯이 함수라고 볼수 있습니다. 그러나 일차변환의 경우는 이 함수를 행렬로 바꾸어 표현하는 것이 가능하기 때문에 행렬의 곱셈을 이용하여 편리하게 계산하는 것이 가능하게 됩니다.

일차변환을 행렬의 곱으로 변환된 모습입니다.

그래서 위에서 나오는 행렬 A를 일차변환 f를 나타내는 행렬 or 일차변환 f의 행렬이라고 합니다. 수식에서 함수의 일차변환이 행렬의 곱셈으로 변화는 것을 눈으로 확인이 가능합니다. 일차변환을 통해서 우리가 목적으로 삼는 것은 이동하게 되는 점의 좌표를 행렬의 곱셈을 이용해서 표현하고 그 위치를 계산해 내는데 있다는 사실을 알 수 있습니다.

03. 수학의 정석  |  일차변환의 중요한 성질 01

서로다른 두점의 이동을 알면 일차변환의 행렬식을 찾을 수 있다는 점입니다. 
예를 들면,  f:(2,1)->(4,2) , f(1,-1)->(0,0)으로 이동을 합니다.
그려면 일차변환이라고 하면 행렬A를 이용하여 두개의 행렬 관계식을 만들수 있습니다. 각각 계산해서 A행렬을 구해도 되지만 하나로 결합해서 계산해도 결과는 같게 나오게 되어 있습니다. 따라서 2X2행렬로 아래와 같이 바꾸어줍니다.

여기서 B의 역행렬을 사용하게 되면 쉽게 일차변환 시켜주는 A행렬을 쉽게 구하는 것이 가능하게 됩니다. 

결론적으로 말씀을 드리면 서로 다른 두점의 일차변환에 의해 이동된 점을 안다면 우리는 일차변환 행렬을 찾을수 있다는 사실을 기억하고 문제풀때 적용할 수 있어야 한다는 점입니다.

04. 수학의 정석  |  일차변환의 중요한 성질 2 (선형성)

수학적으로 선형성(linearity)이란? 교과외 용어이기는 하지만 f(x+y)=f(x)+f(y) 를 만족하는 함수중에는 일차함수 f(x)=ax 가 있습니다. 즉, 덧셈 x+y 를 덧셈 f(x)+f(y) 로 보내는 함수입니다.이 함수는 덧셈연산을 그대로 옮겨 보존하는 함수입니다 
여기서 일차변환 행렬의에서 중요한 성질이 바로 덧셈에 대해서 그래로 보존하는 선형성입니다.

-기본성질- 
 
(1) f(P±Q)=f(P)±f(Q)
(2) f(kP)=kf(P)  (k는 실수)

(1)과 (2)를 결합시켜서 쓰면
(3) f(kP±lQ)=kf(P)±lf(Q)

(3)에 나오는 내용이 수학에서 말하는 선형성입니다.
그러면 기출문제를 통해서 어떻게 되는지 이해를 해보도록 하겠습니다.

보기1은 f(P-Q)는 선형성을 가지기 때문에 f(P-Q)=f(P)-f(Q)=Q-P가 성립하게
됩니다.

보기2는 P와 Q의 중점이 R 이므로 R=(P+Q)/2 라고 쓸수 있습니다.
따라서 f(R) = f((P+Q)/2)=f(P)/2 +f(Q)/2 라고 일차변환의 성질3에 의해서 쓸수 있습니다.그래서 결과적으로 f(P)/2 + f(Q)/2 = Q/2 + P/2 =R 이 됩니다. 그래서 참

보기3은 f○f(P)=A(AP)=AQ=P,  f○f(Q)=A(AQ)=AP=Q 

 
이와같이 행렬의 선형성을 이용해서 합답형문제를 풀이를 해보았습니다.
겉으로 보면 별것 아닌것 같은 성질이지만 수능에서는 이부분을 중요하게 생각해서 출제를 할 수도 있기 때문에 꼼꼼하게 확인해 둘 필요가 있습니다. 

여기까지 일차변환과 관련된 기본적인 이론에 대해서 설명을 했습니다.