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2012.04.09 09:12 - WINNER 교육전략

[확률과 통계 이론 17탄] 확률의 이해

 

01. 확률에 대한 이해를 위한 질문?

 

선생님 동전은 왜 경우의 수가 2가지 인가요?

학생들 반응 ..... 두가지가 아닌가?

 

저는 동전을 던져서 3가지가  앞면/ 뒷면/ 세워진 경우가 나왔습니다.

따라서 3가지라고 해야하지 않나요???

  

 

학생들 그러넹....???

 

여기서 학생들은 의문이 발생하고 있습니다.  

새과정에 만들어진 책에서는 기본서를 자세히 읽어보면 언급하고 있는 내용이지만  대부분이 대강보고 지나가는 내용입니다. 

 

확률의 시작은 여기서부터...시작되어야 하지 않을까 생각합니다.

 

정답 : 동전을 던져서 나오는 경우의 수는 2가지 

 

왜??? 글을 읽다보면 자연스럽게 알게 됩니다.

 

02. 확률에 대한 기본용어 


일단 확률을 정확하게 이해를 위해서는 먼저 용어에 대한 이해가 필요합니다. 
 

 

① 시행

모든 결과가 우연에 의해서 지배가 되고

반복가능 하며

모든 결과가 예측가능한 실험이나 관찰

 

 

예를 들면

대표적인 것이 동전을 던진다, 

주사위를 던진다, 

주머니에서 구슬을 꺼낸다...기타등등

 

 

② 표본공간 

집합에서와 같은 전체집합

 

③ 근원사건

표본공간의 전체집합에서 원소가 1개인 부분집합

 

④ 사건 

우리가 일상생활에는 말하는 사건이 아니라 집합개념에서 나오는 부분집합

 

 

예를 들면 ....

주사위를 던진다  -> 시행

표본공간 => {1,2,3,4,5,6}

근원사건 => {1} ,{2}, {3}, {4}, {5}, {6}

짝수가 나오는 사건 => {2,4,6} 

 

그렇다면 확률의 정의는 대부분의 책에서는

 

 

 

 

이렇게 간단히 적혀 있는 경우가 많습니다.

 

 

그런데 이 속에는 전체된 조건이 있는데 일반적인 책에서는 그 내용을 비중있게 다루지 않고 있고 그 때문에 확률문제가 조금만 복잡해지면 이해하기가 어려워지는 요인이 됩니다.

 

따라서 좀더 엄밀한 확률의 정의를 다시 해 보도록 하겠습니다.  

 

여기서 말하는 정의는 수학적확률을 말하는데요      

 



확률을 이해하는데 있어서 가장 중요한 내용은 빨간색으로 적힌 부분인데요 그중에서도 "같은 정도로 기대" 기대가 된다는 말이 핵심입니다.

 

따라서 동전을 던질때 동전이 세워질 가능성은 앞면과 뒷면이 나오는 경우에 비해서 거의 가능성이 없기 때문에 무시를 하게 되고 앞면과 뒷면만 근원 사건으로 간주를 합니다. 

 

03. 확률에 대한 잘못된 이해 01 


등학생 동생을 가진 학생이 있습니다.

 

자기 동생의 꿈은 반기문 유엔사무총장과 같은 유엔사무총장이 되는 것이 꿈입니다.

그렇다면 이 학생의 유엔사무총장이 될 확률을 얼마일까요?

일단 전체 가지수를 찾기 위해서는 표본공간을 만들수 있어야 하는데요

 

표본공간 ={ 유엔사무총장이 되는 경우 , 유엔사무총장이 되지 않는 경우}

 

따라서 이 학생은 자신의 동생이 유엔사무총장이 될 확률은 1/2라고 구했습니다.

이렇게 구하게 되면 오답이 됩니다.

 

왜?

이유는 표본공간에 근원사건들은 같은 정도로 기대가 되어야 하는데 실제로는

유엔사무총장 되는 경우와 유엔사무총장이 되지 않는 경우는 같은 정도로 기대가 되지가 않습니다. 따라서 1/2 이란 확률은 틀리게 됩니다.

 

예초에 표본공간 자체가 틀렸다고 볼 수가 있습니다.    

04. 확률에 대한 잘못된 이해 02  

 

 

어느 신문기자가 교통사고를 조사를 합니다. 한달동안 전국적인 교통사고 사례를 경찰정으로부터 받았는데요

 

자기집 주변에서 150건이 발생, 시내주행중 발생 50건이 발생, 고속도로에서 발생 10건이 발생 이 데이터를 받고 나서 신문기자는 자기집 주변에서 교통사고 발생이 높기 때문에 운전에 주의를 기울여야 한다는 글을 신문에 기고를 하였습니다.     

 

이 신문의 글은 완전히 틀렸습니다. 왜 일까요?

이유는 자기집 주변에서 대부분 사람들 경우 운전하는 횟수가 월등히 많습니다 .

따라서 자기집 주변, 시내,고속도로를 같은 정도로 기대를 하는 오류로 인해서 엉터리 같은 글을 쓰게 된 것이라고 할 수 있습니다.

 

물론 글을 쓴 기자 자신은 모르겠지요 ^^   

05. 확률에 대한 잘못된 이해 03 

 

최근에 많이 언급되는 공부법과 관련된 내용입니다. 책 중 스터디 코드라는 나름 베스트셀러가 있습니다.

 

조남호라는 분이 쓰신 책인데 공부법을 연구하기 위해서 서울대 학생들 약 4000명 정도의 학생들을 설문조사 결과를 바탕으로 해서 공통된 요소를 파악해서 공부의 CODE로 만들어서 이대로 따라하면 여러분은 반드시 성공한다는 내용의 책입니다.

 

개인적으로는 아주 재미있고 보았고 나름 내용도 도움이 많이 된다고 생각하지만 이 책은 근복적으로 치명적인 오류를 가지고 있습니다. 

 

치명적인 오류는 확률에 대한 이해의 부족에서 발생하게 되는데요

 

이책의 주요한 논리 구조는

 

서울대 약 4000명  

=>  STUDY CODE 추출 => 학생들 실행 => 100% 공부 성공  => 누구나 서울대생이 가능  

 

겉으로 보아서는 완벽해 보이지만 치명적인 오류가 존재합니다 

 

 

 

 

 

그림을 보면 확실히 이해를 할 수 있는데요  조남호씨는 서울대생들의 조사에서 STUDY CODE를 찾아내었다고 가정하더라도 실패한 사례에 일반적으로 더 많을 가능성이 존재한다는 사실이지요 문제는 이 사례는 일반적으로 조사가 불가능하기 때문에 자신이 CODE가 맞을 가능성 있긴 하지만 거의 대부분은 틀렸다고 볼 수 있습니다.

 

06. 근원사건을 같게 만드는 방법은?  

 

예를들어서 설명을 해보도록 하겠습니다.  

 

예제 01

 

주머니에 5개의 공이 있는데 검은색 공 3개 흰공 2개가 있습니다.이 중 2개의 검은 색 공을 뽑을 확률을 구하여라? 

 

 

확률문제를 많이 풀다보면 아무 생각없이 맞추게 되는 문제이지만...

정확하게 확률에 대한 문제를 풀기 위해서는 먼저 표본공간을 정확하게 규정을 해야하는데요

검은색이 3개 이고 흰색2 이기 때문에 표본공간을 {(흰,검),(흰,희),(검,흰),(검,검) } 으로 생각해서 확률은 1/4라고 답변을 하게 되면 틀리게 됩니다. 왜냐하면 표본공간의 근원사건들의 같은 정도로 기대가 되지 않기 때문입니다.

 

그래서 확률를 풀어내기 위해서 검은색 공 3 와 흰색 2 는 각각은 색깔이 같지만 확률 문제에서는 근원사건이 같은 정도로 기대가 되어야 하기 때문에 5개의 공이 서로 다른 것으로 간주하고 풀게 됩니다.

 

그렇게 되면 전체 근원사건의 총수는 5개 중 2개를 뽑는다는 뜻이 되고 그리고 검은색 2개를 뽑는 근원사건의 수 3개중 2개를 뽑는 것이 됩니다.

 

 



 

예제02

 

CCDDD를 나열 할때 C,C가 이웃할 확률을 구하여라?

 

그러면 C,C,D,D,D 를 모두 다른 문자로 간주하자  따라서 전체 경우의 수는 5! 이 된다. 그리고 C,C가 이웃하는 경우는 C,C를 하나로 묶어서 생각하기 때문에 전체배열 4!*2가 된다.

 

따라서 우리가 구하는 가지수는

 

 

 

 

결론은 확률 정의에서는 표본공간의 구성이 중요한데 근원사건들이 같은 정도로 기대가 되도록 만들어야 하는데 가장 보편적인 방법은 같은 것들을 모두다 다른 것으로 생각하고 문제를 재구성해서 풀어야 한다는 사실입니다.

 

이것이 앞에 배운 순열과 조합에서 확률로 넘어 오면서 발생하게 되는 차이점입니다.

 

여기까지가 확률의 이해에 대한 Winner의 설명입니다.

 

 

  1. 강민지 2012.05.03 22:02 신고

    넘. 귀한정보. 얻어가네요~^-^*스터디코드예로든것도. 좋았어요. 실생활에..활용하는. 느낌이들더라구요 ㅋ ㅋ 그리고 교과서문제로.설명해주셔서 교과서문제도. 이해가 같어요 ~^^감사합니다. 행복하세요^^

    • 강민지 2012.05.03 22:04 신고

      아. 근데 마지막에. 4!×2에서.2가 정확히. 뭘 뜻하는건지 이해가 안됐어요ㅠ 보충설명 해주심안될까요~^^

  2. Favicon of http://j1w2k3.tistory.com BlogIcon WINNER 교육전략 2012.05.04 00:47 신고

    서로다른 5개를 배열하는데 두개가 이웃하기 때문에 전체는 4개를 배열하고 이웃하는 2개는 서로 위치를 교대할 수 있기때문에 4!*2를 했습니다.

  3. 정말 엄청 나십니다 2013.02.15 00:51 신고

    안녕하십니까

    오타가 있습니당...

    맨 마지막 문제에서

    DD가 이웃할 확률이 아니고

    CC가 이웃할 확률 같습니당...

    근원사건의 동일성(같은 정도로 기대된다)는 너무나도 중요한 사실 같습니다...

  4. 궁금 2014.04.03 12:23 신고

    마지막줄에 CC가 이웃할 확률구하는데요,

    CC를 배열하는 경우의수에 2!을 곱하셧는데

    같은 것들끼리는 2!안곱해도 되지않나요? 앞C뒷C이건 뒷C앞C이건 같은경우아닌가요?

    2!곱하는 예시들어둔거는 AB를 이웃하여 배열할경우 아닌가요? 이경우 AB와 BA가 다르니깐요

    의아해서 댓글달아봅니다. 당연히 선생님 말씀이 옳을것같긴한데.. 저는 왜이렇게 생각하고잇는지

    알고싶습니다.

    • Favicon of http://j1w2k3.tistory.com BlogIcon WINNER 교육전략 2014.04.03 22:41 신고

      여기서 풀이를 한 방법은 모두다 다른 문자로 보고 푼 방법입니다.
      c,c 를 다른문자로 보고 서로 이웃하는 조건을 이용해서 풀어도 된다는 의미입니다.

      일반적으로는 같은것을 포함한 순열로 문제를 푸는데
      확률의 경우는 같은 문자도 모두 다른 문자로 풀어도 확률의 근원사건의 동일성 떄문에 같은 결과가 나오다는 의미입니다.

  5. BlogIcon asd 2014.07.27 17:19 신고

    강민지// CC를 이웃하게 배열하는 방법인데 원래 순열에서는 C를 같은 것 으로 보고
    CCDDD 에서 4!으로 결론을 내잖아요? 근데 확률에서는 CC에서 C와C를 다르게 보기로 전제 한 것
    이니까 즉 설명 드리기 쉽게 CC를 C와C'으로 구분 짓자면 CC'DDD와 C'CDDD 를 확률에선
    다르게 보자 이거죠 그래서 4!에 X2를 해주는 겁니다. 도움이 됬을지 모르겠네요

    • 고3 2017.04.29 20:48 신고

      원래 순열대로 하자면 DDD 사이에 CC가 들어가는 경우이므로 경우의 수가 4!이 아니라 4이고, CCDDD를 모두 다른 경우로 보면 C(1)C(2)D(1)D(2)D(3)에서 C(1)과 C(2)가 이웃하는 경우이므로 4! X 2!이 맞다고 생각합니다;;

  6. BlogIcon asd 2014.07.27 17:20 신고

    무려 2년전 댓글이었네요....ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 그래도 좋은정보 감사합니다 이해진짜 잘됬습니다

  7. 감동 2016.04.13 15:51 신고

    정말 감사합니다ㅜㅜㅜㅜㅜ 항상 이걸로 헷갈렸었는데ㅜㅜㅜ 진짜진짜진짜 감사합니다ㅜㅜㅜ

  8. 신승범 2016.06.03 18:47 신고

    같은 주사위 두개를 동시에 던졌을때 눈의 합이 4가 나오는 확률을 구하라 할때

    저는 나오는 경우의 수가 1,3\ 2,2 라 생각해서 2/36 이라 했는데

    1,3/3,1을 구별해야 한다 하더라고요 그래서 답이 3/36 서로 같은 주사위를 동시에 던지는데 1,3/3,1 이 구별이 되나요?

  9. 수능 2016.11.08 20:36 신고

    17일에 수능 봅니다.
    문과라 한 문제 맞추느냐 못맞추냐 싸움하고있는데
    유명한 수학 선생님 강의 듣고도 확실하게 이야기 해주지 않아서
    그럴 거같다 라고 혼자 생각한
    예를들어 확률로 따질 때는 근원사건의 기댓값 때문에 모두 다른 공으로 본다
    를 명확하게 찝어서 얘기해주시니 감탄스럽습니다.
    몇 일 안남았지만 확실히 도움 많이 됬고 수능 잘 치고 홍보 막 하겠습니다....
    ㄷㄷ.......

  10. Wineer 2017.07.15 12:15 신고

    모든 근원사건이 같을정도로 기대될때 표본공간 원소의 개수가 분모에 와야한다고 하셨는데, 그렇다면, 음...
    예를들어 정사각형주사위에서 모서리를 모두 같은 크기로 작게 정삼각형으로 잘랐다고 해봐요.
    그럼 그 삼각형들이 나올정도는 같겠죠? 물론 커다란 사각형(모서리 삼각형으로 잘라서 육각형이 돼버린)이 나올 확률보단 작겠지만요..
    그럼 그 작은 삼각형중하나가 나올 확률은, 1/8인가요? 삼각형이 8개이니까?
    그리고 8에서 각 근원사건들 (작은 삼각형이 나올 사건)은 같은 정도로 나올거라고 기대되니까??..
    그런데 말이안되는것같아서요.. 설명부탁드려도될까요?

  11. Favicon of http://j1w2k3.tistory.com BlogIcon WINNER 교육전략 2017.07.15 15:05 신고

    전체 확률은 1이 되는 상태에서 같은정도로 기대가 되어야 합니다.~~
    님의 방법에서는 전체확률이 1이 되지 않기 때문에 오류가 나오게됨~~

  12. Wineer 2017.07.15 23:04 신고

    그렇다면 위의 경우 어떻게 구하는 것이 올바른가요?

    • Favicon of http://j1w2k3.tistory.com BlogIcon WINNER 교육전략 2017.07.16 11:22 신고

      실제로 풀때는 삼각형이 될 가능성이 아주 작기 때문에 무시하고 사각형면만 각각이 나올 확률을 1/6 로 동등하게 해서 구하게 됩니다.

  13. Wineer 2017.07.16 21:06 신고

    따지고 들려는건아닌데요..
    만약 그럼 삼각형을 충분히 크기를 키워서 사각형보단 크지않게, 사각형이 나올확률보단 작게 한다면요..? 무시할수없을정도의 크기라면 어떻게되나요?

    • Favicon of http://j1w2k3.tistory.com BlogIcon WINNER 교육전략 2017.07.17 02:18 신고

      당연히 해야 할 질문이죠...
      적으려다 그만 두었는데...원칙적으로는 기대되는 정도가 둘다 다르기 때문에 확률을 따질게 없다가 정확 하겠죠...
      이런 경우 강제로 찾고자 하면 통계적 확률로 접근해야 합니다.예를 들어 10번 중 6번 사각형 4번 삼각형 나온다고 하면 사각형의 각면의 확률은 6/10*1/6, 삼각형의 각면의 확률 4/10*1/8 정도로 하면 되겠죠~~

  14. Wineer 2017.07.18 19:11 신고

    궁금한 점이 시원하게 해결됐네요.. 감사합니다!

  15. 굳굳 2017.07.19 00:03 신고

    흰공1개랑 검은공2개의 예시에서요
    근원사건간의 기대되는 정도가 다르다라는 뜻을 정확하게 잘 모르겟어요...
    이해할수 있도록 자세하게 설명해주실수 있으신가요?

  16. 문돌문돌 2018.01.23 12:51 신고

    수능개념 공부 도중에 막혔던 개념이었는데 덕분에 시원하게 해결하고 갑니다 확률로 넘어가는 파트에서 표본공간 규정 때문에 약간 조합과 순열과는 다른 느낌이 왜 그런지 궁금했거든요

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