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2012.10.22 20:33 - WINNER 교육전략

[적분과 통계 이론 02탄] y=f(x) 곡선의 길이를 구하기? [QR]

 

 

01. 적분의 곡선의 길이 구하기를 시작하며...

 

적분의 맨마지막으로 나오는 곡선의 길이를 구하는 공식에 대해서 알아보고자 합니다. 이 부분은 부실하게 적혀 있는 책들이 많아서 재대로 이해 할 수가 없어서 공식을 그대로 외워서 푸는 사람들이 많은데 ...증명이 조금 복잡한 편입니다.

 

차근 차근 확인해 나가면 ....여러가지 중요한 성질들을 증명과정 중에 적용이 되고 있다는 사실을 알 수 있고 향후 증명문제에 논술시험에도 도움이 될 것 같아서 ....

 

정적분의 정의를 이용해서 접근해 보도록 하겠습니다. 

 

02. 구하고자 하는 곡선의 기본 조건들

 

함수f(x)  구간 (a,b) 에서 미분가능하고

구간 [a,b]에서 곡선 y=f(x)의 길이를 L이라고 하겠습니다   

 

 

 

  

03. 곡선의 길이 계산 과정 

 
 

 

 

04. 무한급수를 정적분으로 

 


 

04. 증명에 사용된 핵심적인 아이디어 

 

1. 곡선을 잘게 나누면 직선과 같이 생각할 수 있다.

 

 

2. 직선의 길이를 구하는 과정에서 평균값 정리 이용하여 값을 변형




3. 샌드위치 정리에 의해서


4. 무한급수를 적분으로 변경하기

 

 

곡선의 길이를 구하는 증명과정을 배우다 보면 자연스럽게 적분과 관련된 주요내용과 미분과

극한 관련된 내용까지 같이 섞여있기 때문에 반드시 1번이상 증명을 직접 해보시면 수학공부에

상당한 도움이 될것으로 생각됩니다.

 

여기까지 허접한 곡선의 길이에 대한  WINNER 설명입니당~~  

 

 

 

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  2. ㅇㅁㅇ 2013.11.05 23:46 신고

    감사합니다!!매개변수에서 이 공식으로 유도하는 과정은 많이 나와도 정적분의 측면에서 접근
    한 곡선길이 구하기는 흔하지 않아서 문제를 푸는 내내 찜찜했었는데ㅠㅠ이렇게 정리를 잘해주시다니!!감동입니다

  3. LeSToP 2013.12.21 16:19 신고

    감사합니다! 문제 푸는데 이게 왜 이렇게 되나 싶었거든요 ㅎㅎ 덕분에 이해됐어요! 감사해요~^_^

  4. men1120 2014.01.04 20:07 신고

    우와..진짜 이해 잘되요!! 근데 평면좌표의 속도와 거리도 올려주시면안되나요?? ㅠㅠ 그부분도 너무 어려워요 ㅠㅠㅠ

  5. 허T 2014.01.20 23:10 신고

    잘보고갑니다.이해하기쉬웠습니다

  6. 박정훈 2014.03.06 23:00 신고

    정말 감사합니다 . ㅎㅎ

  7. 학생 2014.03.07 11:41 신고

    안녕하세요선생님
    한가지 이해가 잘안되는데요
    Lk=PkPk-1 이게 빗변길이 잖아요?
    그런데 n이 무한대로 가면
    K가 무수히 많아져서
    xk=xk-1이 되고
    Pk=Pk-1이 되서 이건 빗변길이가
    아닌 x축과 평행한 선분길이 아닌가요??

  8. BlogIcon dkflrkeh 2014.04.29 23:38 신고

    개념원리 공부하다가 설명이 없길레 검색해서 봤는데 너무 이해 잘 됬습니다 감사합니다~

  9. 무니 2014.05.22 14:30 신고

    이해안되었던 부분 증명 넘 감사합니다...

  10. 임정민 2014.08.11 02:43 신고

    질문이 있습니다.
    Ck 가 Xk로 바뀌는 부분에서
    lim는 바깥에 그대로 있습니다.
    무한급수는 부분합의 극한으로 정의되는데
    결국 Ck 를 Xk로 먼저 근사하지 않는 이상 부분합은 구할 수 없는것 아닌가요?
    이것은 무한급수의의 정의상 틀린 증명이 되는것 아닌가 하는 생각입니다.

    • Favicon of http://j1w2k3.tistory.com BlogIcon WINNER 교육전략 2014.08.11 23:57 신고

      극한 부분만 따지면 XK-1, XK가 진동하는 경우에 오답이 될 수 있습니다. 그러나 내용상 XK-1, XK 같은 값으로 수렴하다 전체가 깔려 있어서 상관이 없다고 생각합니다.

  11. BlogIcon 조혜리 2014.10.23 13:49 신고

    n이 무한대로 갈 때 △x 가 0으로 가면 Xk가 a로 가지 않나요?

  12. BlogIcon 김성현 2014.12.03 05:14 신고

    전 물리개념으로 접근해서 이해하고 있었는데 수학적 증명 흥미로웠습니다^^ 점 (x,f (x))에서 x를 시간으로 볼때 물리벡터개념으로 각각의 x축속도는 미분하여 1이고 y축속도는 f'(x)로 볼수있으므로 그점에셔 스칼라인 순간속력은 루트 1+f'(x)이므로 총이동거리는 순간속력을 구하려는 구간에따라 정적분하면 나온다 요렇게 이해하고 있었습니다^^

  13. ㄷㄷㄷ 2015.02.26 15:29 신고

    크..... 전 제가 틀린줄 알았습니다. 수학의 정석책에는 치환적분으로 식으로 증명해 놨는데 저는 평균값 정리랑 센드위치 정리해서 정적분과 무한급수 개념으로 증명해 봤거든요. 옛날에 수학 배울때 그리 배운적이 있어서요. 군대에서 독학 하다가 막혀서 함 증명을 해봤는데 제가 맞는지 틀린지 알 수가 있어야죠.. 근데 이거 보니깐 완전 제가 한 것과 같은 증명이네요. 매우 기분 좋음.

  14. ㄷㄷㄷ 2015.02.26 15:29 신고

    크..... 전 제가 틀린줄 알았습니다. 수학의 정석책에는 치환적분으로 식으로 증명해 놨는데 저는 평균값 정리랑 센드위치 정리해서 정적분과 무한급수 개념으로 증명해 봤거든요. 옛날에 수학 배울때 그리 배운적이 있어서요. 군대에서 독학 하다가 막혀서 함 증명을 해봤는데 제가 맞는지 틀린지 알 수가 있어야죠.. 근데 이거 보니깐 완전 제가 한 것과 같은 증명이네요. 매우 기분 좋음.

  15. Favicon of http://j1w2k3.tistory.com BlogIcon WINNER 교육전략 2015.02.28 08:00 신고

    축카축카~~

  16. 이지혜 2016.08.26 12:57 신고

    정말 너무 깔끔하게 정리 잘해주심
    군더더기도 없고 너무너무 감사~~
    현학적인 표현이없고 딱필요한 설명만 있어서 그대로 기억만하면 될꺼같아요^0^~~

  17. 김명섭 2016.09.26 01:37 신고

    아 ..샌드위치 정리였군요.. ㅋㅋㅋㅋ 한참 찾았어요 ㅎㅎ
    선생님 감사합니다 .
    수능 끝나고 과외용으로 책을 써 보려고 했는데 개념부분은 선생님 게시물 참고해야겠어요 ㅎㅎ

  18. 림람로 2016.10.12 21:39 신고

    리만식 적분 배울땐 부족합 < 실제 값 < 과잉합 으로 배운걸로 기억합니다. 직선을 잘게 쪼개서 곡선에 근접하는 거라면 부족합인데, 과잉합에 대한건 어떻게 해야하는거죠? 혹시 증명을 하는데 과잉값고 부족값 둘 다 있을 필요가 없는건가요?

  19. ㅁㄴㅇㄹ 2017.07.19 14:28 신고

    샌드위치정리랑 Ck의 합이랑 무슨연관이있는건가요? 직관적으로는 이해가는데 수학적정의로 따지자면 틀린거아닌가요? Ck의 무한개의 합을 Xk로두다니.. 그러니까 식은맞는거같..은데 증명이 애매하다고해야하나.. '그냥 그렇다' 라는식으로 쓰여있는거같아서 살짝애매한감이있네요. 증명하고자하는거를 수학적으로 표현을하지못했다해야하나?

  20. 잘보고갑니다 2018.02.13 22:30 신고

    완전 똑똑하시다..

  21. 궁금합니다.. 2018.08.02 23:50 신고

    왜 림람로님 답변은 안해주시나요ㅜㅜ 저도 궁금합니다.
    저것이 수렴한다는 전제가 없다면, 상합과 하합을 구한 후에 하합의 극한과 상합의 극한이 같음을 이용하여 샌드위치 정리를 이용하려했는데.....
    혹시 연속함수의 정적분값은 항상 존재하기 때문에 하합인 직선의 길이의 합으로만 구하신 것인지요? 엄밀한 증명을 보고 싶어서 댓글 남겨봅니다.

    • 궁금합니다.. 2018.08.03 00:11 신고

      미분가능하더라도 도함수는 연속성이 보장되지 않는데, 그 부분을 고려하여야 할 것 같다고 생각합니다.

      원함수 f(x)가 미분가능 이라는 조건이 아닌, 더 강한 조건 "도함수 f'(x)가 연속" 이 필요할 것 같습니다.

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