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2012.10.24 08:17 - WINNER 교육전략

[적분과 통계 이론 04탄] 어떻게 넓이가 적분으로 쉽게 구할 수 있을까?

 

01.   정적분으로 넓이 구하기를 시작하며.....

     

 

 

 

 

대부분의 공부하는 학생들은 정적분을 통해서 넓이를 구해 내는데 ...왜 이렇게 만들수 있지에 대한 고민이 많이 부족합니다. 여러가지 이유가 있겠지만 ...생각할 수 있는 시간적 여유가 부족하고 어릴때부터 결과 위주로 공부를 했기 때문이 아닌가 생각이 됩니다. 오늘은 정적분이 왜 넓이를 구하는 식이 되는가에 대해서 알아 보도록 하겠습니다.

특히 수리 논술을 준비하거나 수능의 증명부분에서 중요하게 다루어질 가능성이 높은 내용이라 이부분을 주제로 선택을 했습니다. ....

 


02.    정적분의 정의

     


 

 

 


구분구적법 (기본적인 도형으로 잘게 나누어 넓이를 구하는 방법) 이용하여 y=f(x) 그래프가  구간[a,b] 에서  x축과 이루는 도형의 넓이는

 

 

 


여기서 구분구적분을 이용해서 구한 넓이를  함수 f(x)의 a에서 b까지의 정적분이라고 합니다. 그럼 여기서 질문이 생기게 되는데요...

왜 그 많은 기호 중에서 적분기호를 사용해서 표현을 했을까? 하는 점입니다.

적분은 미분의 역연산으로 알고 있는데 넓이랑 무슨관계지...

일단 위의 정적분의 정의는 아래 그래프의 면적과 같게 됩니다.  

 

결국 위의 내용을 보면 구분구적법을 통해서 넓이를 구한것을 정적분이란 것으로 약속을 했는데 ....

문제는 극한을 이용해서 계산을 하면 계산과정이 너무 복잡해진다는 사실입니다.

그래서 넓이를 찾아내는 새로운 방법을 발견하게 되는데 그것을 정적분과 미분의 관계를 이용해서 가능하게 됩니다. 

 

03.   정적분과 미분의 관계      

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

여기서 S(x)의 변화율에 대해서 알아보면

 


 

 

 

04.   정적분의 기본정리 (부정적분을 이용)

     


 



05.   정적분의 넓이 종합정리      


01. 구분구적법을 이용하여 정적분을 정의를 한다.

02. 넓이의 변화율을 이용하여 정적분과 미분의 관계를 알아낸다.

03. 부정적분을 이용하여 정적분의 기본정리를 완성한다.

 

이와 같은 과정을 거쳐서 이제 우리는 넓이를 더이상 구분구적법을 통해서 구하지 않고 정적분의 기본정리를 이용하여 쉽게 넓이나 부피를 구하는 것이 가능하게 됩니다.

 

여기까지 ...허접한 WINNER 이었습니다.

 

 

 

 

  1. misterioso 2013.04.25 18:50 신고

    오늘 마침 왜 F(x)-F(a)가 넓이인지 궁금했던참에 잘보고갑니다.
    제대로 이해는안됬지만... 나중에 다시 봐야겠네요

    • Favicon of http://j1w2k3.tistory.com BlogIcon WINNER 교육전략 2013.04.25 23:51 신고

      그렇게 어려운 내용은 아닙니다....파이팅!!!
      혹시 다시 봐도 이해 안되는 부분있으면 적어주세요...
      제가 다시 수정해보겠습니다.~~

  2. 수학이궁금한학생 2013.05.07 07:51 신고

    다른 부분은 모두 이해가 너무 잘되서 감사합니다. 그런데 증명과정의 도입부분에서
    S(x)=인테그럴 a부터 x까지 f(t)dt로 표현할 수 있다고 적혀 잇는데 이렇게 그냥 가정을 해보는 건가요?

    • Favicon of http://j1w2k3.tistory.com BlogIcon WINNER 교육전략 2013.05.07 09:16 신고

      곡선에서의 넓이를 인테그랄을 가지고 약속된 기호형태로
      만든 겁니다. 그리고 그 계산방법은 원래는 시그마를 통해서
      구해야 하는데.계산이 아주 복잡하여 소수의 수학자들만이 풀수 가 있었는데...우연히 찾아내게 된것이죠..

  3. 좋은글들 2013.08.18 22:14 신고

    저기요 03 정적분과 미분과의 관계 밑에 있는 그래프는 y = f{t} 에 대해서 설명하고있는것이므로
    x축이아니라 t축과 y축 이어야되는것아닌가요?

  4. 좋은글들 2013.08.18 22:34 신고

    아 이해 됬네요 죄송 ㅠ 감사합니다 매번

  5. 폭풍저그 2013.08.20 14:08 신고

    정적분과 미분의 관계에서 y=f(t)로 설명을 하고 있으니
    주어진 그래프의 x축 부분을 t축으로 바꿔야 하지 않을까 싶네요.

  6. 적분어려움 2014.01.01 21:06 신고

    x에 대한 함수 S(x)가 인테그럴 a부터 x까지 f(t) dt 로 변해야되는 게 아닌가요? 변수 t에 대한 그래프 f(t)의 그래프 아래 부분의 넓이란 의미에서요

  7. 2015.07.06 00:06

    비밀댓글입니다

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