[적분과 통계 이론 03탄] 무한급수를 정적분으로 ... [QR]

 

01.   무한급수를 정적분으로 변환에 장애요인

 

 

 

구간 [a,b]에서 연속인 함수 f(x)의 a에서 b까지의 정적분은

 

 

라고 약속했는데 이것은 무한 급수 수식을 간결하게 표현한 방법이고 좀더 정확하게 표현을 하면

 

 

그러나 무한급수와 관련된 내용을 그래프로 표시를 하면 쉽게 정적분에 대한 이해가 가능하나 늘 그래프를 그리는 것은 불편하고 시간이 오래 걸릴 수 있습니다.

따라서 이번시간에는 그래프를 그리지 않고 무한급수를 바로 정적분으로 바꾸는 방법에 대해서 알아보겠습니다.

 

02.    무한급수를 정적분으로 변환 방법 01

 

이 식에서 a와 b는 숫자이기 때문에 우리 눈에는 b-a 하나의 숫자로 보이게 됩니다.  따라서 b-a에서 a를 이용하여 매번 b를 계산하기 보다는 p=b-a라 두고 b=a+p로 대체해서 사용하는 것이  더 편리하게 정적분으로 바꾸는 방법 일 것입니다.    

 

 

 

03.   무한급수를 정적분으로 변환 방법 02

정적분을 x축으로 -a 만큼 평행 이동을 합니다.

그러면

 

 

 

 

이렇게 바꾸면 좋은점은

 

 

 

좀 더 쉽게 정적분으로의 변환이 가능합니다.

 

 

04.   무한급수를 정적분으로 변환 방법 03

정적분에서 x=pt 로 치환을 하면 dx=pdt가 되고 x=0일때 t=0, x=p일때 t=1 이므로

바뀌게 됩니다.

 

이렇게 하면 이점이 무엇일까요

1. 정적분의 범위가 [0,1]로 고정이 됨으로 p의 값을 찾을 필요가 없습니다.

2. k/n =>x , 1/n => dx로 바뀐다고 생각하면 되기 때문에 무한급수를 정적분으로 변환하는 것이 아주 쉽습니다.

 

그러나 단점도 있는데 정적분으로 변환한 식이 복잡한 경우 치환적분을 추가로 해야한다는 점입니다.

 

그럼에도 불구하고 대부분의 무한급수를 정적분으로 변경하는 문제들은 3번째 정적분의 변형방법이 제일 안전하고 빠른 방법입니다.

 

 

 

05.  마무리를 하며...

무한급수를 정적분으로 바꾸는 방법은 정리를 하면 ....

 

1번의 정적분을 x축으로 평행이동하여 만들어진 식

2번의 정적분을 x=pt로 치환하여 만들어진 식

실전에서 적분 문제를 푸는데는 3번이 제일 쉽고 유용하게 사용할 수 있습니다.

 

여기까지가 WINNER의 설명이었습니다.

06. TEST 문제

정적분을 이용하여 극한값을 구하여라