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2012.11.06 22:15 - WINNER 교육전략

[적분과 통계 이론 05탄] 역함수 넓이 구하기

 

01.   적분으로 넓이 구하기 .... 

     

 
적분으로 넓이를 구하는 단원을 배울때 느낌은 쉽다이다. 정적분을 이용하여 정말 쉽게 구할수 있다.

그러나 여기서도 조금 어렵게 느켜지게 만드는 부분이 있는데 역함수를 만들기 힘든 함수를 주고 역함수의 면적을 구하라고 줄때 입니. 그러면 원래함수를 이용해서 적분을 해야하는데 문제를 푸는데 어렵게 만드는 경우가 많습니다. 특히 적당히 이해하고 넘어가면 다음에 모의고사나 내신 시험에서 고생하게 되는 경우가 많아서 이번에 이것에 대해서 포스팅 해보도록 하겠습니다.  

  

02.  역함수의 의미 :  x와 y의 역할 교대

     


 

 

 

그림을 통해서 보면 알수 있지만 역함수에서는 y좌표가 x좌표 역할을 하게 되고

x좌표는 y좌표의 역할을 하게 됩니다.

 

그래서 역함수에 대한 정적분은 y축과 그래프 사이의 면적에 대한 적분으로 생각할 수 있습니다.  

 

 

 

 

 

 


 

03.  x축과 역함수 사이의 넓이 ?


 

 

 

 

 

역함수를 구하기 힘들다면  원함수를 이용해서 아래와 같이 구하는 것이 가능하다.

 

 

 

 

04. 원함수와 역함수의 넓이의 합? 


 

 

 

 

일단 f(x)함수를 이용하여 그래프를 그리고 해당 정적분에 해댱하는 부분을

표시합니다.

 

 

 

그리고 나서 이 부분을 해석을 하면 넓이는

 

 

 



 

04.   원함수와 역함수로 둘러싸인 면적은?

     


일단 먼저 그래프로 표시를 하면

 

 


그런데 역함수와의 교점을 먼저 찾아야하는데 원함수와 역함수와의 교점은

원함수와 y=x에서 교점과 일치하기 때문에  이를 이용하여 구합니다.

 

 



따라서 우리가 구할 넓이는

 

그런데 일반적으로 역함수는 구하기 힘든 경우가 많아서

y=x와 y=f(x)의 면적을 찾아서 두배를 하는 방법으로 풀이를 함니다.

 

 

 

그러면

 



 

05.   역함수의 넓이  정리      


01. x축과 역함수로 사이의  면적= 원함수와 y축으로 사이의 면적

02. 원함수와 역함수로 둘러싸인 면적  = 원함수와 y=x 로 둘러싸인 면적의 두배


이 내용을 꼭 기억해 두시면 앞으로 아무리 어려운 역함수 관련 넓이 구하는 문제가 나와도 쉽게 접근할 있을 것입니다.

여기까지 WINNER의 설명이었습니다.

 

문장오류나 틀린내용이 있으면 댓글 부탁드립니다.

제눈에는 좀처럼 찾기가 힘들어서...ㅜㅜ 

  1. ... 2013.01.31 20:46 신고

    그리고나서 이부분을 해석을.. 아래 그래프에서 S2 넓이 적분한 부분. 역함수로되어있어요

  2. Favicon of http://j1w2k3.tistory.com BlogIcon WINNER 교육전략 2013.01.31 20:58 신고

    감사...오류부분 찾았습니다.

  3. BlogIcon 제발 2013.03.31 17:45 신고

    정말 죄송한데 x=g(y) 는 역함수와 똑같이 봐도 되나요??

  4. euler 2013.08.03 03:56 신고

    저게 무슨 rule이였는데, 수학자 이름인데 기억이 안나네요..

  5. BlogIcon 샤이너 2014.10.14 23:16 신고

    너무이해가쉽게되네요 감사합니다^^

  6. 홍은 2015.06.19 23:39 신고

    감사합니당

  7. ㅇㅇㅈ 2015.07.20 13:29 신고

    감사합니다

  8. 2015.10.04 17:48 신고

    교점이 존재하지않는역함수도위넓이공식이성립하나요
    ,

  9. .. 2018.07.11 21:44 신고

    4번째 마지막 넓이구하실때 f (x)-x 로 표현하신거면 넓이니까 절댓값을붙히거나
    x-f (x)로 바꿔야하는거아닌가요?

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