[적분과 통계 이론 06탄] 원순열의 아이디어 확장과 적용 [QR]

 

 

 

[적분과 통계 이론 11탄 ] 원순열과 다각순열 그리고 입체도형 

upgrade 버전 으로 가세용

 

 

01.   원순열을 시작하며...

 
원순열의 구하는 방법은 별루 어렵지 않으나 ...여기서 사용하는 아이디어를 이용하여 다양한 문제를 만드는 것이 가능합니다. 또한 순열이나 조합과 혼합되어 계산을 해야하는 경우도 발생하는데 가장 핵심적인 역할을 하는 것은 원순열과 관련된 아이디어 입니다.

02.    진순열과 원순열의 차이점

순열의 가장 큰 특징은 각각이 구분되는 자리에 나누어 위치하게 된다는 점입니다.

그러나 원순열의 경우 회전하면 같은 자리가 되기 때문에 초기에 앉거나 색칠되는 것은 위치의 구분이 되지 않습니다.

즉 처음에 사용하는 것을 BOSS라고 한다면 이놈의 위치는 항상 같다는 점이죠 ...

검정,빨강,파랑,노랑으로 색칠을 한다면 검정(BOSS)로 생각한다면 먼저 색칠하는 것을 1로 생각합니다.

 

그러면 나머지는 BOSS의 위치를 기준으로 세개의 자리가 구분이 되게 순열 문제처럼 풀이가 가능하게 됩니다.세가지 색깔을 서로다른 장소에 색칠하는 방법으로 바뀌게 됩니다.

 

 

 

 

 

03.   다각순열에 원수열의 원리 이용하기

 

8명의 사람을 정사각형의 식탁에 앉게 하는 방법은?

 

 

01. 90도 회전하면 같은 자리가 나오게 된다.

02. BOSS는 파란색 OR 빨간색 위치에 간다

03. BOSS 배치되면 순열문제가 된다.

  

 

 

 

 

 

비슷하지만 좀더 생각을 요하는 문제

9가지 색깔로 나타내는 방법의 수는 ?

 

 

01. 중앙을 먼저 색칠한다. 9C1

02.  나머지 8개 지역은 위치의 구분이 되지 않는다. (기준이 없음)

03.  BOSS 위치 결정 (빨간곳과 파란곳 90도 회전하면 같은곳이 반복) 2가지

04. 나머지 7개는 순열처럼 나열을 하면됨

 

 

 

계산결과 9 x 2 x 7!

 

04.   입체도형 적용하기 1탄 정육면체

위의 정육면체에 1~6까지 숫자를 써서 주사위를 만들때 나오는 경우의 수?

 

 

01. 위치의 구분이 되지 않는다. 제일 위면에 BOSS 1을 고정시킨다.

02. 아래면은 윗면에 1이 고정되어 위치가 구분이 된다. 

     2~5까지 숫자중 하나를 배열

03. 옆면은 4개는 서로 구분이 되지 않는다. 따라서 옆면중 하나에

     BOSS 2를 고정시키다.

04. 나머지 옆면은 BOSS 2를 기준으로 구분이 되어 순열로 계산

 

  

 

05.   입체도형 적용하기 2탄 직육면체

 

세변이 다른 직육면체에서 1~6까지 숫자를 쓰는 방법의 수는?


01. 위치가 구분이 되지 않기 때문에 BOSS 01 를 지정해야 하는데

     다른위치가 3군데 존재

02. 윗면에 BOSS 01 위치 했다면 아랫면은 5가지가 올 수 있음

03. 옆면 역시 서로 구분이 안되기 때문에  BOSS 02 를 지정해야 하는데

     다른 위치가 2군데 존재

04. 나머지는 이제 자리 구분이 가능하므로 순열처럼 풀이가 가능

   

계산 결과는 3 x 5 x 2 x 6 =180  

06. 입체도형 적용하기 3탄 정팔면체

 

정팔면체에서 면에 8개의 숫자를 배열하는 방법의 수는? 

 

01. 위치가 구분이 되지 않기 때문에 BOSS 01 지정

02. BOSS 01과 마주보는 면에 나머지 7가지 번호중 선택을 함

03. BOSS 01과 마주보는 면을 제외하고는 여전히 위치구분이 되지 않음

     BOSS 02를 사용해야 하는데 BOSS 01과의 관계를 생각하면 접하는 면과

     접하지 않는 면 2가지로 구분됨

04  나머지 5가지는 모두 구분이 됨으로 순열 처럼 계산이 가능함

 

계산결과 1 X 7 X 2 X 5! =1680가지

 

 

07. 원순열의 마무리하면 ....

 위치배열 문제에서 회전하면 같은것이 나오는 경우는 BOSS를 정해서 BOSS의 위치를 결정하고 나면 나머지 배열은 순열을 이용하면 된다. 이것이 원순열의 중요한 아이디어 였습니다.

그리고 그 아이디어를 이용하여 다각 순열과 입체도형 문제에 대해서도 같은 방법으로  풀이를 해 보았습니다.

여기까지 WINNER의 설명이었습니다.

 

PS 문장 오류나 오타 발견시 댓글 부탁드립니다. 

    제 능력으로 찾기가 힘들어서...