[적분과 통계 이론 08탄] 조합식의 변형

 

01.조합식의 변형을 시작하며…

 

여기서는 조합식을 변형된 다양한 방법에 대해서 설명을 하고자 합니다. 여러단원에 흩어져서 나오는 내용이라 확률 단원을 공부하는 학생들이 잘 기억하지 못하는 경우가 많은데 의외로 모의고사나 내신에서 결정적이인 문제로 나오는 경우가 있습니다. 그래서 이번시간에 한번 포스팅을 해보고자 합니다. 

 

수학을 열심히 열심히 공부하는 분들에게 조금이나마 도움이 되었으면 합니다. 

 

 

02.조합식의 변형 01 (순열과 연계)

 

순열을 조합과 팩토리얼을 이용하여 표현이 가능하다는 내용입니다. 

 

 

 

 

 

 

03.조합식의 변형 02 (다른 조합으로 변형)

주로 nCr 의 계산이 복잡하게 느껴질때 사용합니다.

예를들면 8C6 를  8C2로 변형하면 계산이 좀더 쉽게 할 수 있습니다.

 

 

04.조합식의 변형 03 (중요함 )

 

 

 

계산에 의해서 증명이 가능하나  일반적으로 부분집합의 갯수 관점에서 설명해 보도록 하겠습니다.  

집합{1,2,3,4....n} 에서 원소 r개로 이루어진 부분집합의 갯수는?

서로다른 n개의 원소 중에서 r개의 원소를 뽑아서 집합을 만들면 됨으로 조합으로

생각이 가능하다. : nCr

 

이것을 조금 다른 관점에서 다시 생각하면 r개의 원소로 이루어진 부분집합을

1의 원소가 포함된 여부에 따라서 분류를 하면

 

1의 원소가 포함된 부분집합 갯수? 

1이 이미 뽑혔기 때문에 2~n까지 원소 중에서 r-1개를 뽑아서 부분집합을 만듬 

1의 원소가 포함된 부분집합 갯수: n-1Cr-1  

 

1의 원소가 포함되지 않은 부분집합 갯수?

1이 포함되지 않기 때문에 2~n까지 원소 중에서 r개를 뽑아서 부분집합을 만듬 

1의 원소가 포함되지 않은 부분집합 갯수: n-1Cr

따라서

같다는 사실을 알 수가 있습니다.

또한 이식은 이항정리에서도 유용하게 사용되게 됩니다.

 

이 원리를 일반화시키면 보통 하키스틱 수열이라고 하는데...

 

 

05.조합식의 변형 04 (이항분포 평균, 분산 이용)

 다음 변형식은 주로 이항분포와 관련된 증명이나 조합관련 증명문제에서 자주 변형하여 쓰는 식입니다.

 

 

증명은 아래와 같이하면 쉽게 증명이 가능하나 실전에서 생각이 나지 않는 경우가 많기 때문에 직접 식을 변형 해보는 연습이 필요합니다.  

 

 

06.조합식의 변형 요약

 

조합식의 변형과 관련된 설명이었습니다.

여기까지가 WINNER의 이론 설명입니다.