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2012.11.19 19:58 - WINNER 교육전략

[수학상 이론 14탄] 곱셈공식 변형 x^n+y^n 구하기 [QR]

 

01. 곱셈공식 변형을 시작하면...

     

 

곱셈공식 변형은 중2때 부터 나오기 시작하는데 고등학교에 들어오면 좀더 높은 차수들의 합도 합과 곱을 이용하여 구하게 됩니다. 이번시간에서 이것을 두가지 관점에서 구해 보고자 합니다.

첫번째는 일반적으로 나오는 합과 곱을 이용한 곱셈공식의 변형이고 다른 방법은 근과 계수관계를 이용하여 이차방정식을 변형해서 접근해보고자 합니다.

 

 

02.   곱셈공식의 변형을 이용

     

 

x+y=2  xy=-1 일때 

 

 

위의 곱셈공식 변형은 가장 기본적인 것이기 때문에 반드시 외우고 있어야 합니다.

일반적으로 학교에서 선생님들은 4차이상의 곱셈공식 문제를 더 선호하는 편입니다. 왜냐하면 기본적으로 2차나 3차는 당연히 알고 있어야 4차나 5차 또는 그 이상의 곱셈공식을 풀수 있기 때문입니다.  

 


그래서 되도록이면 4차와 5차까지 곱셈공식은 외워두는 것이 좋다고 생각합니다.


 

03.   이차방정식으로  이용

     


x+y=2 xy=-1 일때 x,y를 이차방정식의 두 근으로 생각을 합니다.

 

이 이차방정식의 두 근이 x,y 되기 때문에 대입하면 성립 해야한다. 

 

 

 

 

위의 식을 수열 (일정한 규칙에 따라 배열된 수의 열)  형태로 표현이

가능함 

 


위와 같은 식이 만들어지게 되고 그려면 아주 쉽게 차수가 높은 값들도 구하는 것이 가능해 집니다.  풀이방법은 아래와 같습니다.


 



 

04.   마무리 정리      


합과 곱을 이용한 거듭제곱을 구하는 문제는?

 

01. 곱셈공식 변형 이용 -> 2차~5차까지 유도후 공식을 암기해서 적용

02. 이차방정식의 두근 이용 -> 유도해서 적용해보고 다른문제들도 연습

 
02번의 방법은 초기에서 상당히 어렵게 생각될 수 있으나 수능이나 수리논술에서는 여러가지로 유용한 방법이 되기때문에 반드시 알고 두면 상당히 도움이 될것으로 생각이 됩니다.

여기까지 WINNER의 설명이었습니다.

 

  1. Misterioso 2013.04.07 12:53 신고

    5제곱까지는 외워지는데 그이상은 그때그때 필요할때 구해서 써야겠네요 ㅜㅜ

  2. 폭풍저그 2013.08.04 14:05 신고

    혹시나 궁금하신 분들 있을 것 같아서 오지랖 한번 떨어봅니다.
    저 위의 문제의 일반항 x^n+y^n = an= (1+√2)^n + (1-√2)^n 이네요.

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