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2013.02.21 22:29 - WINNER 교육전략

[수1 이론 38탄] 등비수열과 원 [QR]

 


01.등비수열과 원을 시작하며....


 등비수열단원이나 무한등비급수 도형 단원에서 원들이 여러개 나옵니다. ....

그러면 학생들에게 묻지요... 이 원들은 어떤 규칙성을 가지고 있나용???

한 학생이 더듬더듬 하면... 등비수열요... 닮았으니까!!!

대부분의 공부하는 사람들은 왜 원들이 여러개 나올때 등비수열인지 모르는 경우가 많습니다.

왜냐하면 등비수열인지만 알면 그냥 풀리기 때문이죠...

이번 포스팅에서는 이부분을 집중적으로 다루어보고자 합니다.

대표적인 두직선에 접하는 원들이 왜 등비수열인지 알아보겠습니다.  

 

 


02. 두 직선에 접하는 원들의 규칙성


 

 

그냥 보았어는 ..잘 어떤 관계가 있는지 잘 보이지 않습니다.

  

 

 

 

 

즉 위의 원들의 반지름은 일정한 비율을 가지는 등비수열이 됩니다.

따라서 원의 둘레의 길이는 원의 반지름의 길이에 비례하기 때문에 역시 등비수열이 되고 원의 넓이도 반지름의 제곱에 비례를 하기 때문에 등비수열이 됩니다.


 


03. 등비수열과 원 정리


 

결과적으로 원의 반지름이 등비수열이 되기 때문에 원과 관련된 둘레길이나 넓이 모두 등비수열이 된다는 사실을 알수 있습니다.

 

원과 관련된 규칙성 위와 비슷한 방법을 통해서  반지름의 관계를 파악해서 찾을 수 있습니다.

01. 원과 원사이의 관계

02. 원과 원에서 나온 삼각형을 이용한 삼각비를 통해 관계파악

 

여기까지가 등비수열과 원에 대한 WINNER의 설명이었습니다.

  

  1. 양치기 2013.02.22 10:29 신고

    감사합니다 감탄~

  2. Favicon of http://yut951121.blog.me BlogIcon 유태종 2013.07.13 21:45 신고

    "만듦"이 맞는 표현인 것 같습니다.

  3. BlogIcon 여학생 2014.04.18 00:19 신고

    삼각형에서의 한각이 두 접선이 이루는 각의 1/2인건 왜그런건가요ㅠㅠ?
    빚 상환개념 보러 들어왔는데 너무 개념정리가 잘되어있어서 자주 들릴꺼같아요!!!
    좋은 정보 정말 감사해요!!공부하는데 정말 많은 도움이 되네요^^

    • Favicon of http://j1w2k3.tistory.com BlogIcon WINNER 교육전략 2014.04.18 01:41 신고

      외부점에서 접선을 연결하면 외부점과 접점 그리고 중심으로 삼각형이 두개가 만들어집니다. 그런데 두 삼각형이 합동이라서 각이 절반이되고 여기서는 이각과 동위각이 되어서 두 직선이 이루는 각의 절반이 됩니다. 중학교 내용이라... 생략했는데..재가 미쳐 신경을 쓰지 못했네용~~

  4. 좋네요 2014.06.22 19:58 신고

    저도 우연히 이 블로그를 발견해서 요즘 많이 방문합니다.
    그런데 이번 파트에서 1번까지는 이해가 되는데
    2번 각이 1/2가 되는것부터 이해가 잘안되네요 ..하하 ;
    SIn1/2θ가 계산이 어떻게 되는지요 ..?

    • Favicon of http://j1w2k3.tistory.com BlogIcon WINNER 교육전략 2014.06.23 11:43 신고

      각이 절반되는 것은 여학생 댓글을 참조하시면 되고요
      그 각의 값은 반각공식 (현재 수2 삼각함수 단원(고2)) 이용하여
      구할 수 있는데... 이것은 중요한 것이 아니고 sin 값이 결국 상수가
      된다 따라서 공비가 존재해서 원관련 수열 문제가 나오면 등비수열
      문제다 뭐 그런 의미입니다....

  5. 와.. 2015.11.08 02:41 신고

    정말 정말 감사합니다. 등비수열 부분에서 이 원 문제만 해설을 봐도 이해가 안돼서 못 풀고 있었는데 덕분에 알게 됐어요.

    • 와.. 2015.11.08 03:36 신고

      그런데 원의 중심들이 일직선으로 연결 된다는 걸 어떻게 알 수 있는 건가요?

    • Favicon of http://j1w2k3.tistory.com BlogIcon WINNER 교육전략 2015.11.08 22:46 신고

      원들끼리 관계에서 외접선은 조건에서 주어지는 내용입니다.
      외접선이 없으면...등비수열인지 판단이 당연히 불가능하죠

  6. 고차원 2015.11.09 22:32 신고

    죄송하지만 원의 중심들을 다 이으면 직선이 된다는 것은 어떻게 나오는 건가요?

    • Favicon of http://j1w2k3.tistory.com BlogIcon WINNER 교육전략 2015.11.10 01:33 신고

      원의 외부점에서 원에 접선을 그으면 중심과 이은 선은 각이 이등분이 됩니다.
      그래서 모든 원들의 중심은 일직선 위에 있고 각을 이등분하게 됩니다.

  7. ㅎㅎㅎ 2016.11.09 10:56 신고

    너무도움이 많이 됩니다^^
    원에서 만들어지는 삼각형들이 닮음삼각형이 된다는 걸 이용해서 작은원부터 차례대로 반지름이 a b c가 되면 b제곱이 ac가 됩니다 그 설명이 더 편리할것 같네요^^
    너무 도움이 많이되는 굳 싸이트입니다 ㅎㅎㅎ 미진하지만 도움이될까 적어좠습니다

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