[수2 이론 12탄] 미분가능성

 

01. 미분가능성을 시작하며…

 

미분을 배우면 초기에 배우게 되는 연속성과 미분가능성과 관련된 해서 상당히 이론은

간단하게 나오는데 관련된 문제들은 다양하게 나오는 것을 알 수 있습니다.

그리고 어떤 관련된 문제들은 상당히 까다롭게 느켜지는 경우도 많이 있습니다.

그래서 이번시간에는 미분가능성의 정의와 그 정의와 연계되어 출제되는 다양한 형태의

문제들에 대해서 알아보고자 합니다.

 

 

02. 미분가능성의 정의와 의미

 

어떤 함수가 x=a에서 미분이 가능하다는 말은

즉 x=a에서 미분계수가 존재 한다는 의미 입니다.

 

 

이 식이 성립한다는 의미인데 좀더 세심하게 분석을 하게 되면

 

 

결론적으로 보면 미분가능성을 파악하기 위해서는 평균변화율의 극한값을 파악해야 합니다.

평균변화율의 극한값의 존재 여부는 좌극한 값과 우극한 값이 일치할 때 존재하게 됩니다.

 

평균변화율의 좌극한값 : 좌미분계수

평균변화율의 우극한값 : 우미분계수

라고 일반적으로 부릅니다.

 

그래서 x=a에서 미분이 가능하다는 의미는 그 지점에서 좌미분계수= 우미분계수

한다는 의미를 가지고 있습니다.

 

예를 들면 함수 f(x)=2x+1에서 x=a에서 미분가능성을 조사하면

 

 

우미분계수와 좌미분계수가 같다.

따라서 f(x)=2x은 x=a에서 미분가능하고 미분계수는 f'(2)=2가 됩니다.

 

그리고 추가적으로 f(x)가 x=a에서 미분이 가능하면

 

 

결론적으로

함수 f(x)가 x=a 에서 미분 가능하면 f(x)는 x=a에서 연속이 성립

그러나 위 명제의 역은 성립하지 않음 (반례는 y=|x| 증명은 생략)

 

  

 

03 절대값을 갖는 함수와 미분가능성

 

 

함수 f(x)에서 x=a에서 미분가능성을 판단을 할때는 좌미분계수=우미분계수를 판단하면 되기

때문에 대표적으로 많이 출제되는 문제가 절대값을 갖는 함수 문제인데요

몇가지 예를 통해서 알아보도록 하겠습니다.

 

01 y=| x | 가 x=0에서 미분가능성을 조사

 

 

 

 

 

반드시 절대값과 미분가능성과 관련된 문제가 나올떄는 미분계수를 이용해 식을

간단히 만든후에 좌미분계수와 우미분계수의 일치 여부를 확인하여 미분가능성

여부를 결정해야 한다는 사실을 알수 있습니다.

 

 

 

04 가우스을 갖는 함수와 미분가능성

 

여기서는 예를들어 설명을 실시하도록 하겠습니다.

 

함수 y=f(x)가 그래프가 그림과 같을 때

 

 

먼저 함수의 극한값을 판단하는 문제로 우극한= 좌극한 일치 여부를 판단한다.

 

 

 

다음은 미분가능성을 판단하는 내용으로 함수식이 복잡할 때는 그것을

하나의 함수로 두고 미분계수를 구하면서 정리를 해주면 좀더 효과적으로

계산이 가능하다.

 

 

미분계수가 존재하므로 미분이 가능하다

가우스가 포함된 함수라고 해서 미분가능성과 관련하여 특별한 내용은 포함되지

않고 기본적인 절차만 잘 거쳐서 사용하면 됩니다.

 

함수 f(x)가 x=a에서 미분가능성 조사 절차

 

01 식이 복잡할때 하나의 함수로 바꾸어준다.  (이 내용은 생략해도 가능)

02 미분계수의 정의 사용

03 좌미분계수= 우미분계수 확인

 

 

여기까지가 미분가능성과 관련된 WINNER의 설명이었습니다.

 

하트 클릭은 당연히...할꺼죠!!!

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