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2013.04.05 00:20 - WINNER 교육전략

[수2 이론 12탄] 미분가능성

 

01. 미분가능성을 시작하며…

 

미분을 배우면 초기에 배우게 되는 연속성과 미분가능성과 관련된 해서 상당히 이론은

간단하게 나오는데 관련된 문제들은 다양하게 나오는 것을 알 수 있습니다.

그리고 어떤 관련된 문제들은 상당히 까다롭게 느켜지는 경우도 많이 있습니다.

그래서 이번시간에는 미분가능성의 정의와 그 정의와 연계되어 출제되는 다양한 형태의

문제들에 대해서 알아보고자 합니다.

 

 

02. 미분가능성의 정의와 의미

 

어떤 함수가 x=a에서 미분이 가능하다는 말은

즉 x=a에서 미분계수가 존재 한다는 의미 입니다.

 

 

이 식이 성립한다는 의미인데 좀더 세심하게 분석을 하게 되면

 

 

결론적으로 보면 미분가능성을 파악하기 위해서는 평균변화율의 극한값을 파악해야 합니다.

평균변화율의 극한값의 존재 여부는 좌극한 값과 우극한 값이 일치할 때 존재하게 됩니다.

 

평균변화율의 좌극한값 : 좌미분계수

평균변화율의 우극한값 : 우미분계수

라고 일반적으로 부릅니다.

 

그래서 x=a에서 미분이 가능하다는 의미는 그 지점에서 좌미분계수= 우미분계수

한다는 의미를 가지고 있습니다.

 

예를 들면 함수 f(x)=2x+1에서 x=a에서 미분가능성을 조사하면

 

 

우미분계수와 좌미분계수가 같다.

따라서 f(x)=2x은 x=a에서 미분가능하고 미분계수는 f'(2)=2가 됩니다.

 

그리고 추가적으로 f(x)가 x=a에서 미분이 가능하면

 

 

결론적으로

함수 f(x)가 x=a 에서 미분 가능하면 f(x)는 x=a에서 연속이 성립

그러나 위 명제의 역은 성립하지 않음 (반례는 y=|x| 증명은 생략)

 

  

 

03 절대값을 갖는 함수와 미분가능성

 

 

함수 f(x)에서 x=a에서 미분가능성을 판단을 할때는 좌미분계수=우미분계수를 판단하면 되기

때문에 대표적으로 많이 출제되는 문제가 절대값을 갖는 함수 문제인데요

몇가지 예를 통해서 알아보도록 하겠습니다.

 

01 y=| x | 가 x=0에서 미분가능성을 조사

 

 

 

 

 

반드시 절대값과 미분가능성과 관련된 문제가 나올떄는 미분계수를 이용해 식을

간단히 만든후에 좌미분계수와 우미분계수의 일치 여부를 확인하여 미분가능성

여부를 결정해야 한다는 사실을 알수 있습니다.

 

 

 

04 가우스을 갖는 함수와 미분가능성

 

여기서는 예를들어 설명을 실시하도록 하겠습니다.

 

함수 y=f(x)가 그래프가 그림과 같을 때

 

 

먼저 함수의 극한값을 판단하는 문제로 우극한= 좌극한 일치 여부를 판단한다.

 

 

 

다음은 미분가능성을 판단하는 내용으로 함수식이 복잡할 때는 그것을

하나의 함수로 두고 미분계수를 구하면서 정리를 해주면 좀더 효과적으로

계산이 가능하다.

 

 

미분계수가 존재하므로 미분이 가능하다

가우스가 포함된 함수라고 해서 미분가능성과 관련하여 특별한 내용은 포함되지

않고 기본적인 절차만 잘 거쳐서 사용하면 됩니다.

 

함수 f(x)가 x=a에서 미분가능성 조사 절차

 

01 식이 복잡할때 하나의 함수로 바꾸어준다.  (이 내용은 생략해도 가능)

02 미분계수의 정의 사용

03 좌미분계수= 우미분계수 확인

 

 

여기까지가 미분가능성과 관련된 WINNER의 설명이었습니다.

 

하트 클릭은 당연히...할꺼죠!!!

당신의 격려 댓글을 저에게 새로운 POWER UP~~~

 

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  1. 문정빈 2013.04.19 13:20 신고

    선생님 감사합니다

    선생님 블로그에서 정말 많이 공부합니다

    계속 좋은자료 부탁드리겠습니다

    • Favicon of http://j1w2k3.tistory.com BlogIcon WINNER 교육전략 2013.04.19 18:28 신고

      감사감사^^
      제가 열심히 해야 허는딩...
      워낙 게을러서ㅜㅜ

    • 찌녕 2017.05.26 20:46 신고

      ㅠㅠ진짜 쩔어요ㅠㅠㅠㅠ 엄청 쉬우면서도 세세해서 아리까리 했던부분들을 다 해결되네요 ㅎㅎ

  2. ㅎㅎ 2013.07.05 12:29 신고

    아 확실히 이해 되네요 정말 감사해요 헷갈리던 부분인데ㅠㅠ

  3. ㅎㅎ 2013.07.05 12:29 신고

    아 확실히 이해 되네요 정말 감사해요 헷갈리던 부분인데ㅠㅠ

  4. 66 2013.07.14 11:31 신고

    도움 많이 됐어요! 감사합니다~

  5. 쩐다.. 2013.07.26 01:14 신고

    와 진짜 찾다찾다 못찾아서 이해학기를 포기할려고 햇는데 단박에 이해가 되네;;
    진짜 대단합니다 ㅠㅠ 감사합니다~~

  6. rara 2016.02.10 01:28 신고

    그래프가 부드럽게 되야된다는 거죠? 미분가능하려면 첨점처럼 갑자기 미분계수가 바뀌지않구요

  7. 굿굿굿 2017.01.11 20:22 신고

    이해잘되게가르쳐주시네요
    다른곳들은 다 어렵게만 되있더라구요.
    그런데 궁금한게 미분값이있는지 없는지 판단하고서 왜 미분가능성을 판단하는거죠? 가능성이라는 말은 그전에 따지는것아닌가요? 답변부탁드려요ㅎ

  8. 굿굿굿 2017.01.11 20:22 신고

    이해잘되게가르쳐주시네요
    다른곳들은 다 어렵게만 되있더라구요.
    그런데 궁금한게 미분값이있는지 없는지 판단하고서 왜 미분가능성을 판단하는거죠? 가능성이라는 말은 그전에 따지는것아닌가요? 답변부탁드려요ㅎ

  9. ㅎㅎㅎ 2018.02.22 16:57 신고

    이해 진짜 잘되네요
    계속 몰랐는데 이해진짜 잘되네용~~
    감사합니닿

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