[수2 이론 13탄] 관계식과 도함수

 

01. 관계식과 도함수를 시작하며

 

도함수는 기본적으로 정의를 이용해서 문제르 풀면 되는데 대부분은 미분공식을 이용해서 문제를 풀다 보니 관계식과 관련된 문제가 나올 때 당황하게 되는 경우가 많습니다.

그래서 이번 시간에는 함수의 다양한 관계식과 그 도함수를 이용한 미분계수를 구해보고자 합니다. .

 

01. 대칭과 미분계수

02. 함수의 관계식과 미분계수

 

 

02. 대칭과 미분계수

 

 

f(x)가 미분 가능한 함수라고 하면 도함수 f'(x)는

 

 

f(x)=f(-x)은 미분계수와 어떤 관계를 있을까요?

 

f(x)=f(-x) 우함수로 y축 대칭 그래프라는 사실은 이미 알고 있는데…

미분 단원에서는 어떤 특징들을 가지고 있는지 알아보겠습니다.

 

 

도함수의 정의에 따라서

 

 

그래프로 나타내어 보면

 

 

여기서 좀 더 발전시키면 x=a에 대칭인 미분가능한 함수도 적용이 가능합니다.

 

f(a+x)=f(a-x)를 만족시키는 함수와 미분계수와의 관계에 대해서 알아보면

이 함수는 x=a에 대칭인 함수이기 떄문에 위의 사실들을 그대로 적용이 가능 .

 

01. f'(a+x)=-f'(a-x)

02. f'(a)=0 : x=a에 대칭인 함수

03. f'(a+b)=p 이면 f'(a-b)=-p

: x=a에서 같은 거리만큼 떨어지면 접선의 기울기는 부호가 다른다.

 

 

03. 관계식과 미분계수

 

여기서는 자주 나오는 유형 2가지를 가지고 설명을 하도록 하겠습니다.

 

01. 미분가능한 함수 f(x+y)=f(x)+f(y) 일때 f'(a)의 미분계수는?

 

기본적인 전략은 도함수의 정의를 이용해서 풀이를 합니다.

 

 

 

함수 f(x+y)=f(x)+f(y) 이런 식의 의미는

f(x) 일차식이 되고 미분계수는 f'(x)는 상수함수가 된다는 사실을 알 수 있다.

 

02. 미분가능한 함수 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy -1 일때

f'(x)와 f(x)는 어떻게 될까요 ?

최근의 교육청이나 수능시험에서 자주 언급되는 관계식입니다.

 

역시 시작은 도함수의 정의로부터 시작을 합니다.

 

 

구체적인 함수를 찾아 낼수 있기 때문에 시험에 자주 출제가 되는 형태가 됩니다.

그렇기 때문에 여러 번 직접 써보면서 연습을 해야 합니다.

 

여기까지가 관계식과 도함수에 대한 WINNER의 설명이었습니다.